Questão 12

Calcule a área de um triângulo A B C que possui dois lados de medidas b=7 \mathrm{~m} e c=4 \mathrm{~m}, os quais formam entre si um ângulo de 60^{\circ}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área de um triângulo A B C. As informações dadas são:
  • dois lados medindo b=7\\ \mathrm{m} e c=4\\ \mathrm{m};
  • o ângulo entre esses dois lados vale 60^\circ.
    A pergunta é: qual é a área do triângulo A B C?

Passo 2

Lembrando a ideia básica para área de triângulo: a área é metade da base vezes a altura. Escrevendo isso em fórmulas:
\text{área}=\frac{1}{2}\times\text{base}\times\text{altura}.á
Aqui podemos tomar um dos lados como base (por exemplo b) e então a altura relativa a essa base é a projeção do outro lado c sobre a direção perpendicular à base. Se o ângulo entre b e c for \theta, a altura relativa à base b vale c\sin\theta. Portanto substituindo na fórmula da área obtemos a fórmula de uso direto:
\text{área}=\frac{1}{2}\,b\,(c\sin\theta)=\frac{1}{2}\,b\,c\,\sin\theta.á
Aqui:
  • b e c são os comprimentos dos lados dados;
  • \theta é o ângulo entre eles;
  • \sin\theta é o seno desse ângulo.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso, \theta=60^\circ. Precisamos do valor de \sin60^\circ. Um jeito simples de lembrar é que \sin60^\circ=\sin\bigl( \tfrac{\pi}{3}\bigr)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. (Isto vem, por exemplo, ao considerar um triângulo equilátero de lado 1 e dividi-lo ao meio: a altura vale \tfrac{\sqrt{3}}{2}.)

Passo 4

Agora substituímos b=7, c=4 e \sin60^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2} na fórmula da área:
\text{área}=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}.á
Calcule passo a passo:
\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 4 = 14,
14\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{14}{2}\sqrt{3}=7\sqrt{3}.
Portanto a área exata é 7\sqrt{3}\\ \mathrm{m}^2.

Passo 5

Se desejar um valor aproximado, usamos \sqrt{3}\approx1,73205\ldots, então
7\sqrt{3}\approx 7\times 1,73205\approx 12,124\ldots
Arredondando com duas casas decimais temos aproximadamente 12,12\\ \mathrm{m}^2.

Resposta

7\sqrt{3}\\ \mathrm{m}^2 \approx 12,12\\ \mathrm{m}^2

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