Questão 11- Escolha 4 dos vértices de um cubo, de modo a formar um tetraedro regular. Sendo V o volume do cubo, qual o volume desse tetraedro?
Passo 1
O enunciado diz que temos um cubo de volume
. Seja
a aresta do cubo. Então
e
Queremos o volume do tetraedro regular obtido ao escolher quatro vértices do cubo.
Passo 2
Uma escolha clássica desses quatro vértices é
,
,
,
.
Vamos verificar que todos os seis segmentos entre esses pontos têm o mesmo comprimento. Por exemplo, a distância entre e
é
Vamos verificar que todos os seis segmentos entre esses pontos têm o mesmo comprimento. Por exemplo, a distância entre
Cálculos análogos mostram que qualquer par desses quatro pontos está a
. Logo, formamos um tetraedro regular de aresta
Passo 3
A fórmula do volume de um tetraedro regular de aresta
é
Passo 4
Substituindo
na fórmula:
Como
, segue que
Resposta
O volume do tetraedro regular é
.