Questão 11- Escolha 4 dos vértices de um cubo, de modo a formar um tetraedro regular. Sendo V o volume do cubo, qual o volume desse tetraedro?

Passo 1

O enunciado diz que temos um cubo de volume V. Seja a a aresta do cubo. Então
a^3 = V
e
a = V^{1/3}.
Queremos o volume do tetraedro regular obtido ao escolher quatro vértices do cubo.

Passo 2

Uma escolha clássica desses quatro vértices é
(0,0,0), (a,a,0), (a,0,a), (0,a,a).
Vamos verificar que todos os seis segmentos entre esses pontos têm o mesmo comprimento. Por exemplo, a distância entre (0,0,0) e (a,a,0) é
\sqrt{(a-0)^2+(a-0)^2+(0-0)^2} =\sqrt{2\,a^2} =a\sqrt{2}.
Cálculos análogos mostram que qualquer par desses quatro pontos está a a\sqrt{2}. Logo, formamos um tetraedro regular de aresta
\ell = a\sqrt{2}.

Passo 3

A fórmula do volume de um tetraedro regular de aresta \ell é
V_\text{tet} = \frac{\ell^3}{6\sqrt{2}}.

Passo 4

Substituindo \ell = a\sqrt{2} na fórmula:
V_\text{tet} = \frac{(a\sqrt{2})^3}{6\sqrt{2}} = \frac{a^3 \,2^{3/2}}{6\sqrt{2}} = \frac{a^3 \,2^{3/2}}{6\,2^{1/2}} = \frac{2\,a^3}{6} = \frac{a^3}{3}.
Como a^3=V, segue que
V_\text{tet} = \frac{V}{3}.

Resposta

O volume do tetraedro regular é \displaystyle \frac{V}{3}.

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