Questão 10- Dado um tetraedro regular de aresta a, determine:
a) a aresta do octaedro cujos vértices são pontos médios das arestas do tetraedro;
b) a aresta do cubo cujos vértices são centros das faces do octaedro obtido acima;
c) a aresta de um novo octaedro, cujos vértices são centros das faces do cubo obtido acima.

Passo 1

O enunciado parte de um tetraedro regular de aresta a. Em (a) queremos a aresta do octaedro cujos vértices são os pontos médios das arestas do tetraedro; em (b) a aresta do cubo formado pelos centros das faces desse octaedro; e em (c) a aresta de um novo octaedro cujos vértices são os centros das faces do cubo. Para isso, vamos usar coordenações vetoriais em espaços tridimensionais e fórmulas de distância entre pontos.

Passo 2

Sejam A,B,C três vértices do tetraedro confluindo em A. Os pontos médios de AB e AC são
M = \frac{A+B}{2},\quad N = \frac{A+C}{2}.
Então
\overrightarrow{MN} = \frac{B+C}{2} - A \;=\;\frac{(B-A)-(C-A)}{2}.
Como \lvert B-A\rvert=\lvert C-A\rvert=a e o ângulo entre AB e AC é 60^\circ,
\lvert MN\rvert =\frac12\sqrt{\lvert AB\rvert^2+\lvert AC\rvert^2-2\,AB\cdot AC} =\frac12\sqrt{a^2+a^2-2a^2\cos60^\circ} =\frac12\sqrt{a^2} =\frac a2.
Logo a aresta do octaedro é \displaystyle\frac a2.

Passo 3

Considere agora um octaedro regular de aresta s. Sabemos que ele pode ser posicionado com vértices em (\pm u,0,0),(0,\pm u,0),(0,0,\pm u), onde
s = \lvert (u,0,0)-(0,u,0)\rvert = u\sqrt2 \quad\Longrightarrow\quad u=\frac{s}{\sqrt2}.
As faces são triângulos cujos vértices giram sinais de (u,0,0),(0,u,0),(0,0,u), e o centro de cada face é
\Bigl(\pm\frac u3,\pm\frac u3,\pm\frac u3\Bigr).
Esses 8 centros formam um cubo de aresta igual à distância entre
(u/3,u/3,u/3) e (-u/3,u/3,u/3), isto é,
\text{aresta do cubo} = \frac{2u}{3} =\frac{2}{3}\,\frac{s}{\sqrt2} =\frac{s\sqrt2}{3}.

Passo 4

Aplicando ao nosso octaedro de aresta s = \tfrac a2, a aresta do cubo fica
t = \frac{s\sqrt2}{3} = \frac{\tfrac a2\;\sqrt2}{3} = \frac{a\sqrt2}{6}.

Passo 5

Por fim, dadas as arestas de um cubo de tamanho t, os centros das 6 faces são
(\pm t/2,0,0),(0,\pm t/2,0),(0,0,\pm t/2),
que formam um octaedro regular cuja aresta é a distância entre (t/2,0,0) e (0,t/2,0):
\text{aresta do novo octaedro} = \sqrt{\bigl(\tfrac t2\bigr)^2+\bigl(\tfrac t2\bigr)^2} = \frac{t}{\sqrt2}.
Substituindo t=\tfrac{a\sqrt2}{6} obtemos
\frac{t}{\sqrt2} = \frac{\tfrac{a\sqrt2}{6}}{\sqrt2} = \frac{a}{6}.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{a}{2}
(b) \displaystyle \frac{a\sqrt2}{6}
(c) \displaystyle \frac{a}{6}

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