Questão 11. No estudo da resolução de microscópios ópticos, o limite de difração é dado por \operatorname{sen} \theta=1,22 \lambda / D, onde D é o diâmetro da lente. Para um microscópio com \mathrm{D}=1 \mathrm{~cm} e \lambda=500 \mathrm{~nm}, calcule a resolução angular mínima.

Passo 1

O enunciado dá a fórmula do limite de difração
\operatorname{sen}\theta = 1{,}22\,\frac{\lambda}{D},
e fornece os valores:
  • \lambda = 500\\ \mathrm{nm} (comprimento de onda),
  • D = 1\\ \mathrm{cm} (diâmetro da lente).
O que pede: calcular a resolução angular mínima \theta_{\min} para esses valores.

Passo 2

Entendendo a fórmula (explicação didática curta e divertida): a expressão acima vem do critério de Rayleigh para a separação de dois pontos pela imagem formada por uma abertura circular (como a lente do microscópio). Aqui:
  • \theta é o ângulo (em radianos) entre a direção central e o primeiro mínimo do padrão de difração (ou seja, é uma medida da “menor separação angular” que o sistema consegue distinguir);
  • \lambda é o comprimento de onda da luz usada;
  • D é o diâmetro da abertura (a lente).
    A constante 1{,}22 aparece da solução da função de Airy para um diafragma circular — não precisa decorar mais que isso, só lembrar do fator 1{,}22.

Passo 3

Primeiro converto as unidades para o mesmo sistema (metros):
\lambda = 500\\ \mathrm{nm} = 500\times10^{-9}\\ \mathrm{m} = 5\times10^{-7}\\ \mathrm{m},
D = 1\\ \mathrm{cm} = 1\times10^{-2}\\ \mathrm{m} = 0{,}01\\ \mathrm{m}.
(obs.: peguei os números do enunciado)

Passo 4

Agora substituo na fórmula e calculo \operatorname{sen}\theta:
\operatorname{sen}\theta = 1{,}22\frac{\lambda}{D} = 1{,}22\frac{5\times10^{-7}}{1\times10^{-2}} = 1{,}22\cdot5\times10^{-5} = 6{,}1\times10^{-5}.

Passo 5

Usando a aproximação para ângulos pequenos: quando \theta é pequeno (em radianos) vale \operatorname{sen}\theta\approx\theta. Aqui o valor obtido é muito pequeno, então:
\theta_{\min}\approx\operatorname{sen}\theta \approx 6{,}1\times10^{-5}\\ \text{rad}.
Essa aproximação vem da série de Taylor \operatorname{sen}\theta=\theta-\theta^{3}/6+\cdots; para \theta\ll1 os termos além de \theta são desprezíveis.

Passo 6

Se quiser transformar para graus e segundos de arco (útil para intuição):
\theta_{\min}\\ (\text{em graus})=\theta_{\min}\\ (\text{rad})\cdot\frac{180}{\pi} \approx 6{,}1\times10^{-5}\cdot57{,}2957795\approx0{,}003495^\circ,
\theta_{\min}\\ (\text{em segundos de arco})=0{,}003495^\circ\cdot3600\approx12{,}58\\ \text{arcsec}.

Resposta

\theta_{\min}\approx6{,}1\times10^{-5}\\ \text{rad}
\theta_{\min}\approx0{,}003495^\circ
\theta_{\min}\approx12{,}58\\ \text{arcsec}

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