Questão 11 (Instituto Consulplan - 2025/ Contador). Considere que um título vence daqui a quatro meses apresentando um valor nominal (resgate) de \mathrm{R} \ 530.000,00 . Propõe-se uma troca desse título por outro de valor nominal deõí\mathrm{R} $610.000,00 , vencível daqui a oito meses. Sabe-se que a rentabilidade exigida pelo aplicador é deíé3 %$ ao mês. Diante do contexto apresentado, marque V para as afirmativas verdadeiras e F para as falsas.
( ) A rentabilidade da proposta é superior a 3 \% a.m. (taxa exigida pelo investidor). Todavia, a troca não é vantajosa em decorrência do Valor Presente Líquido apurado.
( ) A proposta é vantajosa, pois oferece uma rentabilidade superior à taxa mínima exigida pelo aplicador, ou seja, 3,5 \% a.m.
( ) O valor presente do título proposto na troca no intervalo de tempo n=4 a n=8 é de \mathrm{R} \$ 541.978, 00. A proposta de troca não é vantajosa.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, só isso por enquanto.
  • Título atual: valor nominal (resgate) de \mathrm{R}\$\;530{,}000{,}00 com vencimento daqui a 4 meses.
  • Título proposto (para troca): valor nominal de \mathrm{R}\$\;610{,}000{,}00 com vencimento daqui a 8 meses.
  • Rentabilidade exigida pelo aplicador: 3\% ao mês.
O enunciado apresenta três afirmações (cada uma deve ser marcada com V ou F):
  1. A rentabilidade da proposta é superior a 3\% a.m. Todavia, a troca não é vantajosa em decorrência do Valor Presente Líquido apurado.
  2. A proposta é vantajosa, pois oferece uma rentabilidade superior à taxa mínima exigida pelo aplicador, ou seja, 3{,}5\% a.m.
  3. O valor presente do título proposto na troca no intervalo de tempo n=4 a n=8 é de \mathrm{R}\$\;541{,}978{,}00. A proposta de troca não é vantajosa.
O objetivo é verificar se cada assertiva é verdadeira (V) ou falsa (F). Agora vou ensinar os conceitos que preciso usar e calcular passo a passo.

Passo 2

Conceito fundamental: valor do dinheiro no tempo (desconto e capitalização).
  • Fórmula do Valor Presente (descontar um valor futuro): se houver uma taxa de juros periódica i e um valor futuro (resgate) FV a receber em n períodos, o valor presente PV é dado por
PV=\dfrac{FV}{(1+i)^{n}}.
Aqui:
  • PV é quanto esse FV vale hoje (ou no instante de referência),
  • FV é o valor futuro (o resgate),
  • i é a taxa por período (por exemplo, 0{,}03 para 3\% a.m.),
  • n é o número de períodos até o vencimento.
  • Para comparar duas alternativas que pagam em tempos diferentes, traz-se ambos para o mesmo instante (por exemplo, para hoje n=0 ou para n=4 meses). Quem tiver maior PV é a melhor opção (considerando a taxa exigida).
  • Taxa implícita entre dois fluxos: se um valor V_1 é recebido em t_1 e outro V_2 em t_2 com t_2>t_1, a rentabilidade efetiva por período r oferecida pelo “adiamento” de V_1 para V_2 por (t_2-t_1) períodos satisfaz
(1+r)^{t_2-t_1}=\dfrac{V_2}{V_1},
ou seja
r=\left(\dfrac{V_2}{V_1}\right)^{\tfrac{1}{t_2-t_1}}-1.
Isso nos dá a taxa mensal efetiva da proposta.

Passo 3

Calcular a rentabilidade implícita oferecida pela troca (do título de \mathrm{R}\$\;530{,}000{,}00 em n=4 para \mathrm{R}\$\;610{,}000{,}00 em n=8).
  • Aqui o adiamento é de 8-4=4 meses. Usamos a fórmula acima com V_1=530{,}000 e V_2=610{,}000:
(1+r)^{4}=\dfrac{610{,}000}{530{,}000}=\dfrac{610}{530}=1{,}150943396\ldots
r=\left(1{,}150943396\ldots\right)^{1/4}-1.
  • Calculo numérico (mostrando como fazer sem calculadora conceitualmente): toma-se logaritmo e divide por 4 ou usa raiz quarta. Fazendo a conta (com aproximação):
r\approx 1{,}035777\ldots -1 = 0{,}035777\ldots
ou seja
r\approx 0{,}03578 = 3{,}5778\%\\ \text{ao mês}.ê
Interpretação imediata: a rentabilidade implícita da troca é aproximadamente 3{,}5778\% a.m., que é superior à taxa exigida 3{,}0\% a.m. Portanto a primeira parte da afirmação 1 (que a rentabilidade da proposta é superior a 3\%) é verdadeira. Mas ainda falta ver se a troca é vantajosa em termos de valor presente.

Passo 4

Trazer ambos os títulos ao mesmo instante para comparar: vou trazer ambos para o instante n=0 (hoje) usando i=3\% a.m. (a taxa exigida pelo aplicador). Isso nos dá o valor econômico atual de cada opção sob a taxa requerida.
  • Valor presente do título atual (recebe-se \mathrm{R}\$\;530{,}000{,}00 em n=4):
PV_{\text{atual}}=\dfrac{530{,}000}{(1+0{,}03)^{4}}=\dfrac{530{,}000}{1{,}03^{4}}.
Calculando 1{,}03^{2}=1{,}0609 e 1{,}03^{4}=(1{,}0609)^{2}=1{,}12550881. Logo
PV_{\text{atual}}\approx\dfrac{530{,}000}{1{,}12550881}\approx 470{,}934{,}92.
  • Valor presente do título proposto (recebe-se \mathrm{R}\$\;610{,}000{,}00 em n=8):
PV_{\text{proposto}}=\dfrac{610{,}000}{(1+0{,}03)^{8}}=\dfrac{610{,}000}{1{,}03^{8}}.
Calculando 1{,}03^{8}=(1{,}03^{4})^{2}\approx 1{,}12550881^{2}\approx 1{,}2667700814. Então
PV_{\text{proposto}}\approx\dfrac{610{,}000}{1{,}2667700814}\approx 481{,}249{,}12.
Comparação:
PV_{\text{proposto}}\approx 481{,}249{,}12 > PV_{\text{atual}}\approx 470{,}934{,}92.
Isso significa que, ao descontar pela taxa exigida 3\% a.m., o título proposto vale mais hoje do que o título atual. Portanto, economicamente a troca é vantajosa para o aplicador que exige 3\% a.m.

Passo 5

Outra forma (mais direta) que algumas afirmações usam: comparar valores no instante n=4 (ou seja, trazer o título de n=8 para n=4) — isso evita descontar até n=0. Calculamos o valor do título proposto no instante n=4:
  • Descontar \mathrm{R}\$\;610{,}000{,}00 por 4 meses à taxa i=3\%:
PV_{n=4}=\dfrac{610{,}000}{(1+0{,}03)^{4}}=\dfrac{610{,}000}{1{,}12550881}\approx 541{,}977{,}98.
Compare com o valor que já se tem em n=4: \mathrm{R}\$\;530{,}000{,}00.
  • Como
541{,}977{,}98 > 530{,}000{,}00,
a troca (receber \mathrm{R}\$\;610{,}000 em n=8 em lugar de \mathrm{R}\$\;530{,}000 em n=4) é vantajosa para o aplicador sob a taxa exigida de 3\% a.m.
Observação: a afirmação 3 acerta na parte numérica ( PV_{n=4}\approx \mathrm{R}\$\;541{,}978{,}00), mas erra ao concluir que “a proposta de troca não é vantajosa” — essa conclusão está incorreta.

Passo 6

Resumo das verificações de cada afirmação (já com justificativa técnica curta):
  1. Afirmação 1: diz que a rentabilidade da proposta é superior a 3\% a.m. (isso é verdade), mas afirma que a troca não é vantajosa por causa do VPL (isso é falso, pois o VPL é positivo; o PV do proposto é maior). Como a afirmação contém uma parte falsa (a conclusão), a afirmação inteira é FALSA.
  2. Afirmação 2: diz que a proposta é vantajosa por oferecer uma rentabilidade superior à taxa mínima, “ou seja, 3{,}5\% a.m.” — a proposta realmente é vantajosa, e a rentabilidade implícita é superior à taxa mínima, mas o valor numérico indicado ( 3{,}5\% a.m.) não é o valor correto da rentabilidade implícita (o correto é \approx 3{,}5778\% a.m.). Como a afirmação apresenta um valor numérico incorreto na justificativa, a asserção como escrita é FALSA.
  3. Afirmação 3: afirma que o valor presente no intervalo n=4 a n=8 é \mathrm{R}\$\;541{,}978{,}00 (isso é correto — obtido acima) e conclui que a proposta não é vantajosa (isso é falso). Como contém uma conclusão errada, a afirmação inteira é FALSA.

Resposta

F
F
F

Exercícios relacionados