Questão 9 (CESPE/CEBRASP/TCE - Auditor de controle interno - 2024). Uma dívida de R
correspondente à situação apresentada.
A)
B)
C)
D)
E)
A)
B)
C)
D)
E)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que nos pede (sem ainda resolver nada).
- Dívida:
. - Pagamentos semestrais, quatro no total, feitos em períodos consecutivos de semestre:
- Parcela 1 (no momento da assinatura, isto é, no período
): . - Parcela 2 (após um semestre, período
): . - Parcela 3 (após dois semestres, período
): . - Parcela 4 (após três semestres, período
): .
- Parcela 1 (no momento da assinatura, isto é, no período
- A pergunta implícita: encontrar a equação polinomial cuja raiz fornece a taxa interna de retorno
correspondente a essa situação (ou seja, a taxa por semestre que torna o valor presente dos pagamentos igual à dívida).
Passo 2
Entender o que significa “taxa interna de retorno” (IRR) aqui e como montar a equação.
- Conceito prático que usaremos: a taxa
que iguala o valor presente (VP) dos pagamentos ao valor da dívida. Ou seja, o credor aceita receber esses pagamentos; para haver equivalência financeira, o valor presente dos pagamentos descontados a deve ser igual à dívida. - Fórmula de desconto simples que vamos usar para cada pagamento: o valor presente de um pagamento futuro de montante
feito no período (contando a partir de ) é . Aqui é o fator de capitalização; dividir por ele é descontar para o tempo . - Observação específica ao problema: a primeira parcela de
é no instante , então seu valor presente é exatamente (nenhum desconto).
Passo 3
Escrever a igualdade do valor presente dos pagamentos com a dívida, usando o conceito do passo anterior.
- Valor presente total dos pagamentos:
- Igualando ao valor da dívida:
Passo 4
Transformar a equação em um polinômio em
(procedimento padrão para obter uma equação algébrica cuja raiz é
). Explico passo a passo o porquê de cada operação.
- Primeiro, vamos eliminar denominadores multiplicando ambos os lados por
(porque a maior potência no denominador é ). Isso torna a equação polinomial em . - Multiplicando:
Passo 5
Passo a passo do rearranjo algébrico para obter a forma padrão do polinômio. Vou subtrair o lado direito do esquerdo para obter zero do lado direito (forma comum em polinômios).
- Subtraindo o lado direito:
- Agrupando os termos em
:
- Calculando o coeficiente de
: . Então:
Passo 6
Tornar a equação mais simples (tirar fator comum e mudar de sinal para comparar com as alternativas).
- Multiplicando ambos os lados por
para que o coeficiente de fique positivo:
- Agora podemos dividir toda a equação por
(fator comum) para simplificar os coeficientes: -
- Após a divisão:
Passo 7
Reescrever essa equação isolando o termo constante no lado direito, no formato usado nas alternativas (para comparar diretamente).
- Somando
em ambos os lados:
- Esta é exatamente a equação polinomial cuja raiz (em termos de
) corresponde à taxa interna de retorno da operação descrita.
Resposta
C)