Questão 9 (CESPE/CEBRASP/TCE - Auditor de controle interno - 2024). Uma dívida de R \$\(90.000 deve ser liquidada em quatro pagamentos semestrais consecutivos, respectivamente, de\)\mathrm{R} \$25.000, R \$ 35.000, R \$30.000, R \$ 20.000\(. A primeira parcela será quitada no momento de assinatura do contrato. Com base nessas informações, assinale a opção que corresponde à equação polinomial cuja raiz fornece a taxa interna de retorno\)i correspondente à situação apresentada.
A) 14(1+i)^{3}-5(1+i)^{2}-6(1+i)=7
B) 18(1+i)^{3}-7(1+i)^{2}-6(1+i)=4
C) 13(1+i)^{3}-7(1+i)^{2}-6(1+i)=4
D) 18(1+i)^{4}-5(1+i)^{3}-7(1+i)^{2}-6(1+i)=4
E) 18(1+i)^{4}-4(1+i)^{3}-5(1+i)^{2}-6(1+i)=4

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que nos pede (sem ainda resolver nada).
  • Dívida: R\$\,90{,}000.
  • Pagamentos semestrais, quatro no total, feitos em períodos consecutivos de semestre:
    • Parcela 1 (no momento da assinatura, isto é, no período 0): R\$\,25{,}000.
    • Parcela 2 (após um semestre, período 1): R\$\,35{,}000.
    • Parcela 3 (após dois semestres, período 2): R\$\,30{,}000.
    • Parcela 4 (após três semestres, período 3): R\$\,20{,}000.
  • A pergunta implícita: encontrar a equação polinomial cuja raiz fornece a taxa interna de retorno i correspondente a essa situação (ou seja, a taxa por semestre que torna o valor presente dos pagamentos igual à dívida).

Passo 2

Entender o que significa “taxa interna de retorno” (IRR) aqui e como montar a equação.
  • Conceito prático que usaremos: a taxa i que iguala o valor presente (VP) dos pagamentos ao valor da dívida. Ou seja, o credor aceita receber esses pagamentos; para haver equivalência financeira, o valor presente dos pagamentos descontados a i deve ser igual à dívida.
  • Fórmula de desconto simples que vamos usar para cada pagamento: o valor presente de um pagamento futuro de montante M feito no período n (contando a partir de 0) é \dfrac{M}{(1+i)^{n}}. Aqui (1+i)^{n} é o fator de capitalização; dividir por ele é descontar para o tempo 0.
  • Observação específica ao problema: a primeira parcela de R\$\,25{,}000 é no instante 0, então seu valor presente é exatamente R\$\,25{,}000 (nenhum desconto).

Passo 3

Escrever a igualdade do valor presente dos pagamentos com a dívida, usando o conceito do passo anterior.
  • Valor presente total dos pagamentos:
25{,}000 + \frac{35{,}000}{(1+i)} + \frac{30{,}000}{(1+i)^{2}} + \frac{20{,}000}{(1+i)^{3}}.
  • Igualando ao valor da dívida:
R\$\,90{,}000 = 25{,}000 + \frac{35{,}000}{(1+i)} + \frac{30{,}000}{(1+i)^{2}} + \frac{20{,}000}{(1+i)^{3}}.

Passo 4

Transformar a equação em um polinômio em (1+i) (procedimento padrão para obter uma equação algébrica cuja raiz é i). Explico passo a passo o porquê de cada operação.
  • Primeiro, vamos eliminar denominadores multiplicando ambos os lados por (1+i)^{3} (porque a maior potência no denominador é (1+i)^{3}). Isso torna a equação polinomial em (1+i).
  • Multiplicando:
90{,}000\,(1+i)^{3} = 25{,}000\,(1+i)^{3} + 35{,}000\,(1+i)^{2} + 30{,}000\,(1+i) + 20{,}000.

Passo 5

Passo a passo do rearranjo algébrico para obter a forma padrão do polinômio. Vou subtrair o lado direito do esquerdo para obter zero do lado direito (forma comum em polinômios).
  • Subtraindo o lado direito:
0 = 25{,}000\,(1+i)^{3} + 35{,}000\,(1+i)^{2} + 30{,}000\,(1+i) + 20{,}000 - 90{,}000\,(1+i)^{3}.
  • Agrupando os termos em (1+i)^{3}:
0 = \big(25{,}000 - 90{,}000\big)(1+i)^{3} + 35{,}000\,(1+i)^{2} + 30{,}000\,(1+i) + 20{,}000.
  • Calculando o coeficiente de (1+i)^{3}: 25{,}000 - 90{,}000 = -65{,}000. Então:
0 = -65{,}000\,(1+i)^{3} + 35{,}000\,(1+i)^{2} + 30{,}000\,(1+i) + 20{,}000.

Passo 6

Tornar a equação mais simples (tirar fator comum e mudar de sinal para comparar com as alternativas).
  • Multiplicando ambos os lados por -1 para que o coeficiente de (1+i)^{3} fique positivo:
0 = 65{,}000\,(1+i)^{3} - 35{,}000\,(1+i)^{2} - 30{,}000\,(1+i) - 20{,}000.
  • Agora podemos dividir toda a equação por 5{,}000 (fator comum) para simplificar os coeficientes:
    • 65{,}000 / 5{,}000 = 13
    • 35{,}000 / 5{,}000 = 7
    • 30{,}000 / 5{,}000 = 6
    • 20{,}000 / 5{,}000 = 4
  • Após a divisão:
0 = 13\,(1+i)^{3} - 7\,(1+i)^{2} - 6\,(1+i) - 4.

Passo 7

Reescrever essa equação isolando o termo constante no lado direito, no formato usado nas alternativas (para comparar diretamente).
  • Somando 4 em ambos os lados:
13\,(1+i)^{3} - 7\,(1+i)^{2} - 6\,(1+i) = 4.
  • Esta é exatamente a equação polinomial cuja raiz (em termos de i) corresponde à taxa interna de retorno da operação descrita.

Resposta

C)

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