Questão 11: Mostre que não existem matrizes A e B de ordem n tais que A B-B A=I_{n}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que não existem matrizes A,B\in M_{n}(\Bbb K) (sobre um corpo de característica zero, por exemplo \Bbb R ou \Bbb C) tais que
AB - BA = I_{n}.
O conteúdo principal é a propriedade da traça de matrizes: linearidade e invariância cíclica, ou seja, \tr(AB)=\tr(BA).

Passo 2

Definimos a função traço em M_{n}(\Bbb K) por
\tr(X)=\sum_{i=1}^{n}X_{ii}.
Duas propriedades fundamentais são:
\tr(X+Y)=\tr(X)+\tr(Y), \quad \tr(cX)=c\,\tr(X) \quad\text{e}\quad \tr(XY)=\tr(YX)
para quaisquer X,Y e escalar c.

Passo 3

Aplicamos a traço em ambos os lados da igualdade dada:
\tr\bigl(AB - BA\bigr)=\tr\bigl(I_{n}\bigr).

Passo 4

Pelo lado esquerdo, pela linearidade e pela invariância cíclica,
\tr(AB-BA) =\tr(AB)-\tr(BA) =\tr(AB)-\tr(AB) =0.
Pelo lado direito, sabemos que
\tr(I_{n})=n\neq0.

Passo 5

Chegamos a
0 = \tr(AB-BA) = \tr(I_{n}) = n,
o que é impossível para n\ge1. Logo, não existem matrizes A,B tais que AB - BA = I_{n}.

Resposta

Não existem tais matrizes.

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