Questão 11: Mostre que não existem matrizes
e
de ordem
tais que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que não existem matrizes
(sobre um corpo de característica zero, por exemplo
ou
) tais que
O conteúdo principal é a propriedade da traça de matrizes: linearidade e invariância cíclica, ou seja,
.
Passo 2
Definimos a função traço em
por
Duas propriedades fundamentais são:
para quaisquer
e escalar
.
Passo 3
Aplicamos a traço em ambos os lados da igualdade dada:
Passo 4
Pelo lado esquerdo, pela linearidade e pela invariância cíclica,
Pelo lado direito, sabemos que
Passo 5
Chegamos a
o que é impossível para
. Logo, não existem matrizes
tais que
.
Resposta
Não existem tais matrizes.