Questão 10: Se
é uma matriz inversível:
a) Mostre que
b)
se, e somente se,
.
c)
e
são ambas inversíveis ou ambas não inversíveis.
a) Mostre que
b)
c)
Passo 1
O enunciado afirma que uma matriz
é invertível e pede para mostrarmos três propriedades envolvendo transposta, inversa e soma de matrizes. Vamos usar:
- Definição de inversa:
- Propriedade da transposta de um produto:
- Fatoração de matrizes para comparar invertibilidade de produtos.
Passo 2
Provar
.
Começamos de
Começamos de
Aplicando transposta em ambos os lados,
Isso mostra que
é a inversa de
, logo
Passo 3
Provar
se, e somente se,
.
“ ” Suponha
. Multiplicando à esquerda por
:
“
Agora multiplicamos à direita por
:
“
” Suponha
. Multiplicando à esquerda por
:
Multiplicando à direita por
:
Passo 4
Provar que
e
são ambas invertíveis ou ambas não invertíveis.
Observe a fatoração
Observe a fatoração
pois
. Como
é invertível, um produto
é invertível exatamente quando
é invertível. Logo
ou seja, as duas são simultaneamente invertíveis ou não.
Resposta
a)
.
b) se, e somente se,
.
c) é invertível sse
é invertível.
b)
c)