Questão 10: Se A é uma matriz inversível:
a) Mostre que \left(A^{t}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{t}
b) B A^{-1}=A^{-1} B se, e somente se, A B=B A.
c) A+B e I+B A^{-1} são ambas inversíveis ou ambas não inversíveis.

Passo 1

O enunciado afirma que uma matriz A é invertível e pede para mostrarmos três propriedades envolvendo transposta, inversa e soma de matrizes. Vamos usar:
  • Definição de inversa:
AA^{-1}=A^{-1}A=I.
  • Propriedade da transposta de um produto:
(MN)^t = N^t M^t.
  • Fatoração de matrizes para comparar invertibilidade de produtos.

Passo 2

Provar \bigl(A^t\bigr)^{-1} = \bigl(A^{-1}\bigr)^t.
Começamos de
AA^{-1}=I.
Aplicando transposta em ambos os lados,
(AA^{-1})^t = I^t \quad\Longrightarrow\quad (A^{-1})^t A^t = I.
Isso mostra que (A^{-1})^t é a inversa de A^t, logo
\bigl(A^t\bigr)^{-1} = (A^{-1})^t.

Passo 3

Provar BA^{-1}=A^{-1}B se, e somente se, AB=BA.
\implies” Suponha BA^{-1}=A^{-1}B. Multiplicando à esquerda por A:
A\,(BA^{-1}) = A\,(A^{-1}B) \quad\Longrightarrow\quad (AB)A^{-1} = (AA^{-1})B = B.
Agora multiplicamos à direita por A:
AB = BA.
\Longleftarrow” Suponha AB=BA. Multiplicando à esquerda por A^{-1}:
A^{-1}(AB) = A^{-1}(BA) \quad\Longrightarrow\quad B = A^{-1}BA.
Multiplicando à direita por A^{-1}:
BA^{-1} = A^{-1}B.

Passo 4

Provar que A+B e I+BA^{-1} são ambas invertíveis ou ambas não invertíveis.
Observe a fatoração
A + B = (I + BA^{-1})\,A,
pois BA^{-1}A=B. Como A é invertível, um produto X\,A é invertível exatamente quando X é invertível. Logo
A+B\text{ é invertível} \iff I+BA^{-1}\text{ é invertível},éíéí
ou seja, as duas são simultaneamente invertíveis ou não.

Resposta

a) \bigl(A^t\bigr)^{-1} = (A^{-1})^t.
b) BA^{-1}=A^{-1}B se, e somente se, AB=BA.
c) A+B é invertível sse I+BA^{-1} é invertível.

Exercícios relacionados