Questão 11 -

Uma pequena placa metálica de função trabalho \varphi é mantida a uma distância d de um íon isolado. Um feixe de luz monocromático incide sobre essa placa e fotoelétrons são emitidos. Assinale a alternativa que apresenta o máximo comprimento de onda do feixe de luz para que alguns dos fotoelétrons possam orbitar o íon de carga e. A constante de Planck é h, a permissividade elétrica no vácuo é \varepsilon_{0}, a velocidade da luz no vácuo é c e a carga elementar é e.
a) \frac{8 \pi \varepsilon_{0} \mathrm{dhc}}{\mathrm{e}^{2}+8 \pi \varepsilon_{0} \varphi \mathrm{~d}}.
b) \frac{4 \pi \varepsilon_{0} \mathrm{dhc}}{\mathrm{e}^{2}+4 \pi \varepsilon_{0} \varphi \mathrm{~d}}.
c) \frac{4 \pi \varepsilon_{0} \mathrm{dhc}}{\mathrm{e}^{2}-4 \pi \varepsilon_{0} \varphi \mathrm{~d}}.
d) \frac{\pi \varepsilon_{0} d h c}{2 e^{2}+\pi \varepsilon_{0} \varphi d}.
e) \frac{\pi \varepsilon_{0} d h c}{2 e^{2}-\pi \varepsilon_{0} \varphi d}.

Passo 1

O enunciado descreve uma placa metálica com função trabalho \varphi e um íon de carga elementar e afastado da placa por uma distância d. Um fóton de energia h\nu libera um fotoelétron com energia cinética que sai da placa e, se essa energia for adequada, o fotoelétron poderá ficar aprisionado em órbita ao redor do íon. Precisamos usar o efeito fotoelétrico e a condição de energia para órbita ligada numa força coulombiana.

Passo 2

Pelo efeito fotoelétrico, a energia cinética inicial do elétron emitido é
T = h\nu - \varphi.

Passo 3

A energia potencial elétrica de um elétron a uma distância d de um íon de carga +e é
U(d) = -\,\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{d}.

Passo 4

Para que o elétron fique preso em órbita (energia total negativa), vale
T + U(d) < 0 \quad\Longrightarrow\quad h\nu - \varphi < \frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}\,d}.

Passo 5

Como \nu = c/\lambda, a condição de igualdade em h\nu define o maior comprimento de onda \lambda_{\max}:
\frac{h c}{\lambda_{\max}} = \varphi + \frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}\,d}.

Passo 6

Resolvendo para \lambda_{\max} e colocando num único quociente, obtemos
\lambda_{\max} = \frac{h c}{\varphi + \dfrac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}d}} = \frac{4\pi\varepsilon_{0}\,d\,h c}{e^{2}+4\pi\varepsilon_{0}\,\varphi\,d},
que corresponde à alternativa (b).

Resposta

(b)

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