Questão 11 São dadas as afirmativas abaixo:
(i) \sqrt{(-2)^{2}}=-2
(ii) \frac{\sqrt{-4}}{\sqrt{-9}}=\frac{\sqrt{-1} \sqrt{4}}{\sqrt{-1} \sqrt{9}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}=\frac{2}{3}
(iii) (\sqrt{-2})^{2}=-2
(iv) \sqrt{3+2}=\sqrt{3}+\sqrt{2}.
Determine quais delas são verdadeiras e quais delas são falsas, justificando sua resposta.
Resposta: Todas são falsas.

Passo 1

O enunciado lista quatro afirmativas sobre raízes quadradas de números reais (e eventualmente complexos). O conteúdo envolve a definição de raiz quadrada principal em \mathbb{R}, o seu domínio e as propriedades algébricas (por exemplo, quando podemos “distribuir” a raiz sobre soma ou quociente). Vamos analisar cada afirmativa usando essas definições.

Passo 2

(i) \sqrt{(-2)^{2}}=-2.
Pela definição da raiz quadrada principal, para todo a\ge0 vale \sqrt{a} é o não-negativo tal que (\sqrt{a})^2 = a.
Aqui (-2)^2 = 4, então
\sqrt{(-2)^2} = \sqrt{4} = 2
e não -2. Portanto, (i) é falsa.

Passo 3

(ii) \dfrac{\sqrt{-4}}{\sqrt{-9}}=\dfrac{\sqrt{-1}\,\sqrt{4}}{\sqrt{-1}\,\sqrt{9}}=\dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}=\dfrac{2}{3}.
Na aritmética real as expressões \sqrt{-4} e \sqrt{-9} não estão definidas, pois a raiz quadrada em \mathbb{R} exige argumento não negativo. Logo, essa “manipulação” não faz sentido em \mathbb{R} e a afirmativa é falsa.

Passo 4

(iii) (\sqrt{-2})^{2}=-2.
Novamente, em \mathbb{R} não existe \sqrt{-2}. Se estivéssemos em \mathbb{C} usaria-se uma escolha de ramo para \sqrt{-2}, mas esse valor não pertence a \mathbb{R} e a expressão não é válida no contexto real. Portanto, (iii) é falsa.

Passo 5

(iv) \sqrt{3+2}=\sqrt{3}+\sqrt{2}.
Em geral não vale \sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}. Aqui \sqrt{3+2}=\sqrt{5}, mas
\sqrt{3}+\sqrt{2} > \sqrt{5},
por exemplo numericamente \sqrt{3}+\sqrt{2}\approx3{,}15 enquanto \sqrt{5}\approx2{,}24. Logo, (iv) é falsa.

Resposta

Todas as afirmativas (i), (ii), (iii) e (iv) são falsas.

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