Questão 11 São dadas as afirmativas abaixo:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
.
Determine quais delas são verdadeiras e quais delas são falsas, justificando sua resposta.
Resposta: Todas são falsas.
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Resposta: Todas são falsas.
Passo 1
O enunciado lista quatro afirmativas sobre raízes quadradas de números reais (e eventualmente complexos). O conteúdo envolve a definição de raiz quadrada principal em
, o seu domínio e as propriedades algébricas (por exemplo, quando podemos “distribuir” a raiz sobre soma ou quociente). Vamos analisar cada afirmativa usando essas definições.
Passo 2
(i)
.
Pela definição da raiz quadrada principal, para todo vale
é o não-negativo tal que
.
Aqui , então
Pela definição da raiz quadrada principal, para todo
Aqui
e não
. Portanto, (i) é falsa.
Passo 3
(ii)
.
Na aritmética real as expressões e
não estão definidas, pois a raiz quadrada em
exige argumento não negativo. Logo, essa “manipulação” não faz sentido em
e a afirmativa é falsa.
Na aritmética real as expressões
Passo 4
(iii)
.
Novamente, em não existe
. Se estivéssemos em
usaria-se uma escolha de ramo para
, mas esse valor não pertence a
e a expressão não é válida no contexto real. Portanto, (iii) é falsa.
Novamente, em
Passo 5
(iv)
.
Em geral não vale . Aqui
, mas
Em geral não vale
por exemplo numericamente
enquanto
. Logo, (iv) é falsa.
Resposta
Todas as afirmativas (i), (ii), (iii) e (iv) são falsas.