Calcule os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{4 x^{3}-x^{2}}{(x+1)^{3}}

Passo 1

O enunciado pede o limite quando x\to\infty da função racional
\frac{4x^3 - x^2}{(x+1)^3}.
O conteúdo aqui é reconhecer que, para limites em infinito de quocientes de polinômios, os termos de maior grau (aqui grau 3) dominam o comportamento da função.

Passo 2

Para evidenciar os termos de maior grau, dividimos numerador e denominador por x^3:
\frac{4x^3 - x^2}{(x+1)^3} = \frac{x^3\bigl(4 - \tfrac1x\bigr)}{x^3\bigl(1 + \tfrac1x\bigr)^3} = \frac{4 - \tfrac1x}{\bigl(1 + \tfrac1x\bigr)^3}.

Passo 3

Agora analisamos o limite da expressão simplificada. Quando x\to\infty, temos \tfrac1x\to0. Logo,
4 - \tfrac1x \;\longrightarrow\; 4, \qquad \bigl(1 + \tfrac1x\bigr)^3 \;\longrightarrow\; 1^3 = 1.

Passo 4

Com isso,
\lim_{x\to\infty}\frac{4 - \tfrac1x}{\bigl(1 + \tfrac1x\bigr)^3} = \frac{4}{1} = 4.

Resposta

4

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