Questão 11
Seca-se por ambas as faces uma torta de filtração de 60 cm de lado e 5 cm de espessura, utilizando-se ar com temperatura de bulbo seco de
e bulbo úmido de
. O ar flui na direção paralela às faces da torta com uma velocidade de
. A umidade de equilíbrio pode ser considerada desprezível e a umidade crítica, nestas condições de secagem, é de
em base seca. Supondo que a velocidade de secagem no período de velocidade decrescente é proporcional a umidade livre do sólido, calcule o tempo necessário para secar o material desde uma umidade inicial de
até uma umidade final de
.Dado:
Passo 1
O enunciado pede o tempo total necessário para secar a torta de filtração do estado de umidade inicial
(base seca) até a umidade final
(base seca). Informações relevantes dadas no enunciado:
Observações importantes (apenas listadas aqui; resolução começa no Passo 2):
- A torta tem duas faces planas expostas (duas faces de
). - Como a umidade crítica é
, haverá um período de taxa constante enquanto (até ) e, depois, o período de velocidade decrescente para . - O enunciado dá a lei para o período de velocidade decrescente: velocidade de secagem é proporcional à umidade livre do sólido (vamos modelar isso por
, com em base seca). - Precisamos calcular o tempo no período de taxa constante (20% → 9%) e no período de velocidade decrescente (9% → 2%) e somar os tempos.
Passo 2
Cálculo das dimensões, volume da torta e massa de sólidos secos (vou adotar a simplificação usual aqui: a massa de sólidos secos é igual à densidade do sólido seco multiplicada pelo volume geométrico da torta).
Explico para ficar claro:
é a massa de sólidos secos (kg) e será usada para converter umidade em massa de água por
, onde
é a umidade em base seca (kg água / kg sólido seco).
Passo 3
Calcular as massas de água correspondentes às umidades inicial, crítica e final (todas em base seca):
Massas de água:
Águas a remover:
Passo 4
Vamos calcular a taxa constante de secagem por área usando balanço de massa convectivo entre superfície saturada (na temperatura de bulbo úmido) e o ar ambiente. A ideia (didática): a massa de ar que passa por unidade de área por segundo é
. Cada kg de ar pode carregar uma quantidade de vapor dada pela razão de mistura (humidity ratio)
. Assim, o fluxo de água por área (fase constante) é:
onde
é a razão de mistura do ar em equilíbrio com a superfície (saturado à temperatura da superfície) e
é a razão de mistura do ar ambiente. Para superfície saturada no período constante a temperatura de superfície toma aproximadamente a temperatura de bulbo úmido do ar ambiente (
), então usamos
para
.
Para obter
usamos a relação
onde
é a pressão parcial do vapor d’água e
pressão atmosférica (vou usar
). Valores usados (tabela/steam tables):
Para
(superfície saturada a
):
Agora precisamos de
(ar ambiente com
e
). Usamos a equação do bulbo úmido (forma energética):
onde
é o calor específico do ar (uso
) e
é o calor latente de vaporização (uso
, valor aproximado para temperaturas próximas a
). Substituindo:
Calculemos passo a passo:
Logo
Agora a densidade do ar (aproximada pela equação dos gases ideais a
):
Portanto o fluxo por área na taxa constante é
Como temos duas faces expostas, a área total é
. Assim a taxa total de remoção de água no período constante é
Passo 5
Tempo necessário no período de taxa constante (para remover
) é
Explicação rápida: aqui dividimos a massa de água a remover no período constante pela vazão de evaporação (kg/s).
Passo 6
Agora tratamos o período de velocidade decrescente. O enunciado diz: “velocidade de secagem no período de velocidade decrescente é proporcional à umidade livre do sólido” — isto eu interpreto como o modelo diferencial usual:
onde
é a umidade em base seca (
) e
é uma constante de proporcionalidade (unidade
). A solução desta equação, tomando
no início do período decrescente (quando
), é
Precisamos de
. Condição de acoplamento entre os períodos: no instante
a taxa instantânea de remoção de água foi igual à taxa constante anterior (continuidade da taxa). A taxa de remoção por unidade de tempo e por massa de sólidos secos no período decrescente é
. Assim, no início deste período:
Logo
Substituindo números:
Passo 7
Tempo para secar da umidade crítica
até
no período decrescente:
Substituindo:
Passo 8
Tempo total somando os dois períodos:
Convertendo para minutos: