Questão 11

Seca-se por ambas as faces uma torta de filtração de 60 cm de lado e 5 cm de espessura, utilizando-se ar com temperatura de bulbo seco de 50^{\circ} \mathrm{C} e bulbo úmido de 25^{\circ} \mathrm{C}. O ar flui na direção paralela às faces da torta com uma velocidade de 1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A umidade de equilíbrio pode ser considerada desprezível e a umidade crítica, nestas condições de secagem, é de 9 \% em base seca. Supondo que a velocidade de secagem no período de velocidade decrescente é proporcional a umidade livre do sólido, calcule o tempo necessário para secar o material desde uma umidade inicial de 20 \% até uma umidade final de 2 \%.Dado: \mathrm{P}_{\text {sólidoseco }}= 1940 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}ó

Passo 1

O enunciado pede o tempo total necessário para secar a torta de filtração do estado de umidade inicial \,20\% (base seca) até a umidade final \,2\% (base seca). Informações relevantes dadas no enunciado:
\begin{aligned} &\text{lado da torta} = 60\\ \mathrm{cm} = 0{,}60\\ \mathrm{m},\\\ &\text{espessura} = 5\\ \mathrm{cm} = 0{,}05\\ \mathrm{m},\\\ &\text{temperatura de bulbo seco} = 50^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{temperatura de bulbo úmido} = 25^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{velocidade do ar paralela às faces} = 1\\ \mathrm{m/s},\\\ &\text{umidade crítica} = 9\% \text{ (base seca)},\\\ &\text{umidade de equilíbrio desprezível},\\\ &\rho_{\text{sólido seco}} = 1940\\ \mathrm{kg/m^3}. \end{aligned}úàíííó
Observações importantes (apenas listadas aqui; resolução começa no Passo 2):
  • A torta tem duas faces planas expostas (duas faces de 0{,}6\times0{,}6\\ \mathrm{m}).
  • Como a umidade crítica é 9\%, haverá um período de taxa constante enquanto X>X_c (até 9\%) e, depois, o período de velocidade decrescente para X\le 9\%.
  • O enunciado dá a lei para o período de velocidade decrescente: velocidade de secagem é proporcional à umidade livre do sólido (vamos modelar isso por dX/dt = -kX, com X em base seca).
  • Precisamos calcular o tempo no período de taxa constante (20% → 9%) e no período de velocidade decrescente (9% → 2%) e somar os tempos.

Passo 2

Cálculo das dimensões, volume da torta e massa de sólidos secos (vou adotar a simplificação usual aqui: a massa de sólidos secos é igual à densidade do sólido seco multiplicada pelo volume geométrico da torta).
\text{Área de uma face} = 0{,}6\times0{,}6 = 0{,}36\\ \mathrm{m^2},Á
\text{Área total exposta (duas faces)} = 2\times0{,}36 = 0{,}72\\ \mathrm{m^2},Á
\text{Volume da torta} = 0{,}6\times0{,}6\times0{,}05 = 0{,}018\\ \mathrm{m^3},
m_s \;(\text{massa de sólidos secos}) = \rho_{\text{sólido seco}}\times\text{Volume} = 1940\times0{,}018 = 34{,}92\\ \mathrm{kg}.óó
Explico para ficar claro: m_s é a massa de sólidos secos (kg) e será usada para converter umidade em massa de água por m_w = X\cdot m_s, onde X é a umidade em base seca (kg água / kg sólido seco).

Passo 3

Calcular as massas de água correspondentes às umidades inicial, crítica e final (todas em base seca):
X_i = 0{,}20,\quad X_c = 0{,}09,\quad X_f = 0{,}02.
Massas de água:
m_{w,i} = X_i\, m_s = 0{,}20\times34{,}92 = 6{,}984\\ \mathrm{kg},
m_{w,c} = X_c\, m_s = 0{,}09\times34{,}92 = 3{,}1428\\ \mathrm{kg},
m_{w,f} = X_f\, m_s = 0{,}02\times34{,}92 = 0{,}6984\\ \mathrm{kg}.
Águas a remover:
\text{na taxa constante (20\%→9\%): } \Delta m_{\text{cr}} = m_{w,i}-m_{w,c} = 6{,}984-3{,}1428 = 3{,}8412\\ \mathrm{kg},
\text{no período decrescente (9\%→2\%): } \Delta m_{\text{dec}} = m_{w,c}-m_{w,f} = 3{,}1428-0{,}6984 = 2{,}4444\\ \mathrm{kg}.í

Passo 4

Vamos calcular a taxa constante de secagem por área usando balanço de massa convectivo entre superfície saturada (na temperatura de bulbo úmido) e o ar ambiente. A ideia (didática): a massa de ar que passa por unidade de área por segundo é \rho_{\text{ar}} v. Cada kg de ar pode carregar uma quantidade de vapor dada pela razão de mistura (humidity ratio) \omega. Assim, o fluxo de água por área (fase constante) é:
\dot{m}''_{c} = \rho_{\text{ar}}\, v\,\bigl(\omega_s-\omega_\infty\bigr),
onde \omega_s é a razão de mistura do ar em equilíbrio com a superfície (saturado à temperatura da superfície) e \omega_\infty é a razão de mistura do ar ambiente. Para superfície saturada no período constante a temperatura de superfície toma aproximadamente a temperatura de bulbo úmido do ar ambiente ( T_{wb}=25^\circ\mathrm{C}), então usamos T_{wb} para \omega_s.
Para obter \omega usamos a relação
\omega = 0{,}622\,\frac{p_v}{p_{\text{atm}}-p_v},
onde p_v é a pressão parcial do vapor d’água e p_{\text{atm}} pressão atmosférica (vou usar p_{\text{atm}}=101325\\ \mathrm{Pa}). Valores usados (tabela/steam tables):
p_{ws}(25^\circ\mathrm{C}) \approx 3169\\ \mathrm{Pa}.
Para \omega_s (superfície saturada a 25^\circ\mathrm{C}):
\omega_s = 0{,}622\frac{3169}{101325-3169} = 0{,}622\frac{3169}{98156} \approx 0{,}02008\\ \mathrm{kg_{w}/kg_{da}}.
Agora precisamos de \omega_\infty (ar ambiente com T_{db}=50^\circ\mathrm{C} e T_{wb}=25^\circ\mathrm{C}). Usamos a equação do bulbo úmido (forma energética):
p_v = p_{ws}(T_{wb}) - \bigl(p_{\text{atm}}-p_{ws}(T_{wb})\bigr)\frac{c_p(T_{db}-T_{wb})}{L_v},
onde c_p é o calor específico do ar (uso c_p=1005\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}) e L_v é o calor latente de vaporização (uso L_v=2{,}45\times10^{6}\\ \mathrm{J/kg}, valor aproximado para temperaturas próximas a 25^\circ\mathrm{C}). Substituindo:
p_v \approx 3169 - (101325-3169)\frac{1005\,(50-25)}{2{,}45\times10^{6}}.
Calculemos passo a passo:
\frac{1005\,(50-25)}{2{,}45\times10^{6}} = \frac{1005\times25}{2{,}45\times10^{6}} \approx 0{,}010258,
(101325-3169)\times0{,}010258 \approx 98156\times0{,}010258 \approx 1006\\ \mathrm{Pa},
p_v \approx 3169 - 1006 = 2163\\ \mathrm{Pa}.
Logo
\omega_\infty = 0{,}622\frac{2163}{101325-2163} = 0{,}622\frac{2163}{99162} \approx 0{,}01357\\ \mathrm{kg_{w}/kg_{da}}.
Agora a densidade do ar (aproximada pela equação dos gases ideais a T\approx50^\circ\mathrm{C}):
\rho_{\text{ar}} = \frac{p_{\text{atm}}}{R_{\text{ar}}T_{db}} \quad\text{com }R_{\text{ar}}=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},\\ T_{db}=323{,}15\\ \mathrm{K},
\rho_{\text{ar}} \approx \frac{101325}{287\times323{,}15} \approx 1{,}093\\ \mathrm{kg/m^3}.
Portanto o fluxo por área na taxa constante é
\dot{m}''_{c} = \rho_{\text{ar}}\,v\,(\omega_s-\omega_\infty) = 1{,}093\times1\times(0{,}02008-0{,}01357) \approx 1{,}093\times0{,}00651 \approx 0{,}007115\\ \mathrm{kg/(m^2\cdot s)}.
Como temos duas faces expostas, a área total é 0{,}72\\ \mathrm{m^2}. Assim a taxa total de remoção de água no período constante é
\dot{M}_{c} = \dot{m}''_{c}\times A_{\text{total}} = 0{,}007115\times0{,}72 \approx 0{,}0051228\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 5

Tempo necessário no período de taxa constante (para remover \Delta m_{\text{cr}} = 3{,}8412\\ \mathrm{kg}) é
t_{\text{cr}} = \frac{\Delta m_{\text{cr}}}{\dot{M}_{c}} = \frac{3{,}8412}{0{,}0051228} \approx 749{,}8\\ \mathrm{s} \approx 12{,}50\\ \mathrm{min}.
Explicação rápida: aqui dividimos a massa de água a remover no período constante pela vazão de evaporação (kg/s).

Passo 6

Agora tratamos o período de velocidade decrescente. O enunciado diz: “velocidade de secagem no período de velocidade decrescente é proporcional à umidade livre do sólido” — isto eu interpreto como o modelo diferencial usual:
\frac{dX}{dt} = -k X,
onde X é a umidade em base seca ( \mathrm{kg\\ water/kg\\ dry\\ solid}) e k é uma constante de proporcionalidade (unidade \mathrm{s^{-1}}). A solução desta equação, tomando t=0 no início do período decrescente (quando X=X_c), é
X(t) = X_c\,e^{-k t}.
Precisamos de k. Condição de acoplamento entre os períodos: no instante \,X=X_c a taxa instantânea de remoção de água foi igual à taxa constante anterior (continuidade da taxa). A taxa de remoção por unidade de tempo e por massa de sólidos secos no período decrescente é -dX/dt = kX. Assim, no início deste período:
kX_c = \frac{\dot{M}_{c}}{m_s}.
Logo
k = \frac{\dot{M}_{c}}{m_s X_c}.
Substituindo números:
k = \frac{0{,}0051228}{34{,}92\times0{,}09} = \frac{0{,}0051228}{3{,}1428} \approx 0{,}001630\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 7

Tempo para secar da umidade crítica X_c=0{,}09 até X_f=0{,}02 no período decrescente:
X_f = X_c\,e^{-k t_{\text{dec}}} \quad\Rightarrow\quad t_{\text{dec}} = \frac{1}{k}\ln\!\biggl(\frac{X_c}{X_f}\biggr).
Substituindo:
t_{\text{dec}} = \frac{1}{0{,}00163}\ln\!\biggl(\frac{0{,}09}{0{,}02}\biggr) \approx 613{,}5\times\ln(4{,}5) \approx 613{,}5\times1{,}50408 \approx 923{,}1\\ \mathrm{s} \approx 15{,}39\\ \mathrm{min}.

Passo 8

Tempo total somando os dois períodos:
t_{\text{total}} = t_{\text{cr}} + t_{\text{dec}} \approx 749{,}8\\ \mathrm{s} + 923{,}1\\ \mathrm{s} = 1672{,}9\\ \mathrm{s}.
Convertendo para minutos:
1672{,}9\\ \mathrm{s} \approx 27{,}88\\ \mathrm{min} \approx 27{,}9\\ \mathrm{min}.

Resposta

t_{\text{total}} \approx 1673\\ \mathrm{s} \approx 27{,}9\\ \mathrm{min}

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