Questão 10

Uma estimativa preliminar da dimensão de um sistema em contracorrente, aquecimento direto, de um secador rotativo para a secagem de um concentrado de minério é para ser feita. O sólido é para ser entregue a partir de um filtro contínuo e introduzido no secador de umidade de 8 \%, de 27^{\circ} \mathrm{C}, e é para ser descarregada a partir do secador a 150^{\circ} \mathrm{C}, 0,5 \% de umidade. Haverá 0,63 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}(5000 \mathrm{lb} / \mathrm{h}) de produto seco. O gás de combustão de análise é 2,5 \% \mathrm{CO} 2,14,7 \% \mathrm{O} 2,76 \% \mathrm{~N} 2 \mathrm{e} 6,8 \% \mathrm{H} 2 \mathrm{O} por volume. Ele vai entrar no secador a 480^{\circ} \mathrm{C}. As perdas de calor é estimado em 15 \% de calor na entrada do gás. O concentrado de minério é triturado até 200 um de diâmetro médio das partículas e tem uma densidade aparente de 1300 kg sólido \mathrm{seco} / \mathrm{m}^{3} e uma capacidade de calor de 837 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} . \mathrm{K}. A taxa de gás não devem exceder 0,70 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{2}, para evitar poeira excessiva. Capacidade calorífica, 120 a 0 K é 1005 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kmol} . \mathrm{K}. Calor latente de vaporização é 2502,3 \mathrm{kJ} / \mathrm{kg} . \mathrm{Cp} ar \left(480{ }^{\circ} \mathrm{C}\right)=1.97 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} . \mathrm{K} . \mathrm{Cp} ar \left(120{ }^{\circ} \mathrm{C}\right)=1.884 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} . \mathrm{K}.
kmol kg Capacidade (kJ/kmol.K)
CO 2 0,025 1,10 45,6
O 2 0,147 4,72 29,9
N 2 0,760 21,3 29,9
Massa seca total 27,1

Passo 1

Vou deixar certinho o que o enunciado dá e o que pede, item por item, sem resolver nada ainda (assim a gente não se perde depois).
Dados fornecidos (peguei a composição do gás e a massa seca total da tabela apresentada):
  • Vazão de sólidos secos: \,0{,}63\\ \mathrm{kg/s}.
  • Umidade na alimentação: \,8\% (assumo percentagem em massa, ou seja, massa de água / massa úmida).
  • Temperatura da alimentação do sólido: \,27^\circ\mathrm{C}.
  • Sólido descarregado: umidade \,0{,}5\% (massa), temperatura \,150^\circ\mathrm{C}.
  • Gás de combustão entra a \,480^\circ\mathrm{C}.
  • Composição do gás por volume (dada no enunciado): \,2{,}5\%\\ \mathrm{CO_2},\\\ 14{,}7\%\\ \mathrm{O_2},\\\ 76{,}0\%\\ \mathrm{N_2},\\\ 6{,}8\%\\ \mathrm{H_2O}.
  • Da tabela: massa seca total dos componentes secos do gás (CO _2+O _2+N _2) = \,27{,}1\\ \mathrm{kg} (usei este dado da tabela para entender a mistura).
  • Perdas de calor no sistema: \,15\% do calor disponível no gás de entrada.
  • Densidade aparente do concentrado (sólido seco): \,1300\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Calor específico do sólido: \,837\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} = 0{,}837\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Calor latente de vaporização (água): \,2502{,}3\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Calor específico do ar (aprox. para o gás): \,\mathrm{C_p^{air}}(480^\circ\mathrm{C})=1{,}97\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} e \mathrm{C_p^{air}}(120^\circ\mathrm{C})=1{,}884\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} (dados do enunciado).
  • Limite de vazão mássica superficial do gás para evitar poeira: \,0{,}70\\ \mathrm{kg/(m^2\cdot s)} (isso significa massa de gás por área de seção transversal do tambor).
  • Observações/assunções que usarei (não peço nada a você, apenas explico o que vou assumir para poder resolver):
    • A umidade é dada em porcentagem em massa (wet basis).
    • A água evaporada é considerada vaporizada à temperatura de ebulição (assumo 100^\circ\mathrm{C}) para cálculo do calor latente; depois considero o aquecimento do vapor até a temperatura de saída do gás ( 120^\circ\mathrm{C}).
    • O gás fornece calor ao arrefecer de 480^\circ\mathrm{C} para 120^\circ\mathrm{C}; usarei média de \mathrm{C_p} entre essas temperaturas para estimar a capacidade calorífica média (metodologia explicada no passo de balanço de energia).
    • Usei o dado da tabela (massa seca total 27{,}1\\ \mathrm{kg}) apenas para verificar a composição; o cálculo de energia do gás será feito com os \mathrm{C_p} médios fornecidos no enunciado, que são mais diretamente aplicáveis ao balanço de energia.
O que o exercício pede (objetivo prático pedido): estimativa preliminar das dimensões do secador rotativo — portanto precisamos encontrar a vazão mássica de gás necessária (para fornecer o calor requerido) e, usando o limite de vazão superficial do gás, obter a área de seção e a dimensão característica (diâmetro) do secador.

Passo 2

Converter as porcentagens de umidade em massas (passo importantíssimo; muitos se confundem aqui). Vou trabalhar com a vazão de sólidos secos \,m_{s} = 0{,}63\\ \mathrm{kg/s} como base fixa (é o que o enunciado dá).
Definição e fórmula usada:
  • Se a umidade é x\% em massa (wet basis), então a fração de matéria seca é 1 - x/100. Logo a vazão mássica total (sólido úmido) é
m_{tot}=\frac{m_{s}}{1 - x/100}.
Aplicando ao caso de alimentação ( x=8\%):
m_{feed}=\frac{0{,}63}{1-0{,}08}=\frac{0{,}63}{0{,}92}=0{,}68478\\ \mathrm{kg/s}.
Massa de água na alimentação:
m_{w,in}=m_{feed}-m_{s}=0{,}68478-0{,}63=0{,}05478\\ \mathrm{kg/s}.
Aplicando ao produto seco descarregado ( x=0{,}5\%):
m_{product\_wet}=\frac{0{,}63}{1-0{,}005}=\frac{0{,}63}{0{,}995}=0{,}63317\\ \mathrm{kg/s}.
Massa de água no produto (retida):
m_{w,out}=m_{product\_wet}-m_{s}=0{,}63317-0{,}63=0{,}00317\\ \mathrm{kg/s}.
Logo a massa de água que precisa ser evaporada no secador é
m_{ev}=m_{w,in}-m_{w,out}=0{,}05478-0{,}00317=0{,}05161\\ \mathrm{kg/s}.
(Resumindo, vamos evaporar cerca de 0{,}05161\\ \mathrm{kg/s} de água.)

Passo 3

Escrever o balanço energético global (princípio que vamos usar) e organizar os termos que representam a demanda de calor.
Princípio: o calor cedido pelo gás, menos perdas, é igual ao calor necessário para aquecer os sólidos e a água contida neles e para vaporizar a água evaporada.
Forma geral do balanço:
Q_{available} = \left(1 - \text{perdas}\right)\cdot m_g\cdot C_{p,g,\text{médio}}\cdot\left(T_{g,in}-T_{g,out}\right),é
onde m_g é a vazão mássica do gás que precisamos determinar.
E o calor demandado (por segundo, em kW) é a soma:
Q_{demand} = Q_{sólidos} + Q_{aquec\,água\_retida} + Q_{aquec\,água\_evap} + Q_{latente} + Q_{superaquecimento\_vapor}.óáá
Vou agora calcular cada termo com as fórmulas e explicar o que cada variável significa e o que estou assumindo.

Passo 4

Calcular o calor necessário para aquecer o sólido seco de 27^\circ\mathrm{C} para 150^\circ\mathrm{C}.
Fórmula (capacidade calorífica do sólido dada no enunciado):
Q_{sólidos}=m_s\cdot C_{p,s}\cdot\Delta T_s,ó
onde m_s=0{,}63\\ \mathrm{kg/s}, C_{p,s}=0{,}837\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} e \Delta T_s=150-27=123\\ \mathrm{K}.
Cálculo:
Q_{sólidos}=0{,}63\cdot 0{,}837\cdot 123 = 64{,}874\\ \mathrm{kJ/s}\approx 64{,}87\\ \mathrm{kW}.ó
Explicação didática: aqui eu multiplico a massa por quanto cada kg precisa de energia por grau e pelo número de graus. Resultado em kJ/s que é kW — a taxa de energia necessária continuamente.

Passo 5

Calcular o calor para aquecer a água que permanece no produto (aquela que não evapora) de 27^\circ\mathrm{C} até 150^\circ\mathrm{C}.
Fórmula (água líquida com C_p\approx 4{,}18\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}):
Q_{retida}=m_{w,out}\cdot C_{p,liq}\cdot (150-27).
Cálculo:
Q_{retida}=0{,}00317\cdot 4{,}18\cdot 123 = 1{,}63\\ \mathrm{kJ/s}\approx 1{,}63\\ \mathrm{kW}.
Comentário: é pequeno porque a massa de água retida é pequena.

Passo 6

Calcular o calor necessário para aquecer e vaporizar a água que será evaporada.
Dividimos em três subitens:
a) aquecer a água líquida de 27^\circ\mathrm{C} até 100^\circ\mathrm{C},
b) vaporizar (calor latente),
c) aquecer o vapor de 100^\circ\mathrm{C} até a temperatura de saída do gás \,120^\circ\mathrm{C} (superaquecimento do vapor até a temperatura do gás).
a) Aquecimento líquido:
Q_{ev,a}=m_{ev}\cdot C_{p,liq}\cdot (100-27).
Cálculo:
Q_{ev,a}=0{,}05161\cdot 4{,}18\cdot 73 = 15{,}75\\ \mathrm{kJ/s}.
b) Latente:
Q_{lat}=m_{ev}\cdot L_v,
onde L_v=2502{,}3\\ \mathrm{kJ/kg}.
Cálculo:
Q_{lat}=0{,}05161\cdot 2502{,}3 = 129{,}13\\ \mathrm{kJ/s}.
c) Superaquecimento do vapor de 100^\circ\mathrm{C} para 120^\circ\mathrm{C}: uso C_{p,vapor}\approx 1{,}86\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} (valor típico para vapor d’água nessas temperaturas; enunciado dá \mathrm{C_p} do ar a 120^\circ\mathrm{C} como referência).
Q_{ev,c}=m_{ev}\cdot C_{p,vap}\cdot(120-100).
Cálculo:
Q_{ev,c}=0{,}05161\cdot 1{,}86\cdot 20 = 1{,}92\\ \mathrm{kJ/s}.
Somando esses três termos:
Q_{ev,total}=15{,}75+129{,}13+1{,}92 = 146{,}80\\ \mathrm{kJ/s}\approx 146{,}80\\ \mathrm{kW}.

Passo 7

Somar todas as demandas de calor para obter Q_{demand}.
Já temos:
  • Q_{sólidos}=64{,}87\\ \mathrm{kW}ó,
  • Q_{retida}=1{,}63\\ \mathrm{kW},
  • Q_{ev,total}=146{,}80\\ \mathrm{kW}.
Somando:
Q_{demand}=64{,}87 + 1{,}63 + 146{,}80 = 213{,}30\\ \mathrm{kW}.
Interpretação: precisamos de aproximadamente 213{,}3\\ \mathrm{kJ/s} (kW) de calor continuamente para realizar o aquecimento e a evaporação nas condições dadas.

Passo 8

Calcular o calor disponível por kg de gás que entra, levando em conta as perdas de \,15\% sobre o calor do gás.
Método para calcular o calor sensível liberado pelo gás: usar médio de \mathrm{C_p} entre 480^\circ\mathrm{C} e 120^\circ\mathrm{C} (dados fornecidos). A variação de temperatura do gás é
\Delta T_g = 480 - 120 = 360\\ \mathrm{K}.
Capacidade calorífica média do gás (aproximação por média aritmética das duas \mathrm{C_p} dadas):
C_{p,g,\text{médio}}=\frac{1{,}97 + 1{,}884}{2} = 1{,}927\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.é
Energia sensível liberada por kg de gás ao esfriar de 480^\circ\mathrm{C} para 120^\circ\mathrm{C}:
q_{g}=C_{p,g,\text{médio}}\cdot\Delta T_g = 1{,}927 \cdot 360 = 693{,}72\\ \mathrm{kJ/kg}.é
Considerando perdas de 15\% (ou seja, só 85\% do calor está disponível para o processo):
q_{g,disponível}=0{,}85\cdot 693{,}72 = 589{,}66\\ \mathrm{kJ/kg}.í
Explicação didática: dividimos o calor total necessário pelo calor que cada kg de gás pode ceder (já descontadas as perdas) para achar quantos kg/s de gás são necessários.

Passo 9

Calcular a vazão mássica de gás requerida m_g.
Usando
m_g = \frac{Q_{demand}}{q_{g,disponível}}.í
Substituindo os números:
m_g = \frac{213{,}30\\ \mathrm{kJ/s}}{589{,}66\\ \mathrm{kJ/kg}} = 0{,}3618\\ \mathrm{kg/s}.
Arredondando com sensatez: m_g \approx 0{,}362\\ \mathrm{kg/s}.
Comentário: este valor é bem pequeno — é porque a energia por kg de gás é grande (gás vem muito quente). Em muitos problemas industriais se obtém mapeamento similar. Se quiser, posso refinar usando Cp do gás calculado por composição da tabela, mas a aproximação com Cp do ar fornecido no enunciado é adequada para estimativa preliminar.

Passo 10

Usar o limite de vazão superficial do gás ( 0{,}70\\ \mathrm{kg/(m^2\cdot s)}) para achar a área de seção transversal necessária e daí o diâmetro do secador.
Fórmula da área necessária:
A=\frac{m_g}{\text{fluxo superficial máximo}}=\frac{m_g}{0{,}70}.á
Cálculo:
A=\frac{0{,}3618}{0{,}70}=0{,}517\\ \mathrm{m^2}.
Agora transformamos área de seção circular em diâmetro, usando A=\dfrac{\pi D^2}{4}, logo
D=\sqrt{\frac{4A}{\pi}} = \sqrt{\frac{4\cdot 0{,}517}{\pi}}.
Cálculo numérico:
D=\sqrt{\frac{2{,}068}{3{,}1416}} = \sqrt{0{,}6585} = 0{,}8115\\ \mathrm{m}.
Arredondando com coerência de engenharia: D \approx 0{,}81\\ \mathrm{m}.

Passo 11

Calcular o fluxo volumétrico de sólidos (útil para dimensionamento secundário) e comentar sobre interpretação.
Vazão volumétrica dos sólidos secos (usando densidade aparente \rho_s =1300\\ \mathrm{kg/m^3}):
\dot V_s = \frac{m_s}{\rho_s} = \frac{0{,}63}{1300} = 4{,}846\cdot 10^{-4}\\ \mathrm{m^3/s}.
Isso dá ideia de que o volume de sólidos a ser conduzido é pequeno; em um secador rotativo típico esse fluxo volumétrico combinado com a geometria e inclinação define comprimento e velocidade de rotação, mas essas etapas são detalhe de projeto posterior.

Passo 12

Checagens de consistência e observações finais (explicando o porquê de algumas aproximações e quando refiná-las):
  • Usei média de \mathrm{C_p} do ar entre 480^\circ\mathrm{C} e 120^\circ\mathrm{C}. Para projeto mais preciso seria melhor integrar a capacidade calorífica em função da temperatura ou usar os valores de \mathrm{C_p} da mistura de gases (dados na tabela podem ser convertidos em Cp médio molar), mas para estimativa preliminar a média é aceitável.
  • Assumi evaporação a 100^\circ\mathrm{C} para cálculo do latente; em secadores industriais, a evaporação ocorre ao longo do trajeto e a temperatura local varia, mas o balanço energético global usando o calor latente à pressão atmosférica é adequado para estimativa.
  • Usei C_{p,vap} aproximado para aquecimento do vapor até 120^\circ\mathrm{C}; esse termo é pequeno comparado ao latente, então pequenas imprecisões aqui pouco afetam o dimensionamento.
  • Se quisermos incluir correção por umidade inicial do gás (a água inicialmente no gás já arrefece e cede calor), isso já está efetivamente coberto ao usar o \mathrm{C_p} do gás (que inclui efeitos de mistura), portanto a estimativa está coerente com os dados fornecidos.
  • Resultado final dá uma área de seção relativamente pequena e um diâmetro inferior a 1\\ \mathrm{m}; em prática poderia-se adotar um diâmetro comercial arredondado (por exemplo 0{,}8 ou 1{,}0\\ \mathrm{m}) e ajustar comprimento e projeto interno conforme disponibilidade e requisitos operacionais.

Resposta

m_g \approx 0{,}362\\ \mathrm{kg/s} \
A \approx 0{,}517\\ \mathrm{m^2} \
D \approx 0{,}81\\ \mathrm{m}

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