Questão 9
Um tecido com uma velocidade de secagem dada por:
no período de velocidade constante, e -dx/dt = 0,5x na taxa decrescente, deve ser secado a partir de um teor de água de
de água por quilograma de tecido totalmente seco para um teor de de água de
em um secador adiabático contracorrente. Aqui t é medido em horas. O ar na entrada tem uma temperatura de bulbo seco de
uma temperatura de bulbo úmido de
. Calcule o tempo de secagem se forem utilizados
a mais que a quantidade mínima de ar.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o tempo total de secagem de um tecido que vai de
até
num secador adiabático contracorrente quando se usa ar
acima do ar mínimo.
Dados fornecidos (listei-os claramente):
Dados fornecidos (listei-os claramente):
- taxa de secagem no período de velocidade constante:
, onde é o teor de água e é uma diferença de razão de mistura (explico melhor adiante); em horas; - taxa de secagem na taxa decrescente (período de queda):
; - teor inicial:
; teor final: ; - secador adiabático contracorrente; ar de entrada com temperatura de bulbo seco
e temperatura de bulbo úmido (anotei exatamente como no enunciado, porém isso parece estranho fisicamente; veja comentário adiante); - usa-se ar em
de excesso sobre a quantidade mínima.
O objetivo é obter o tempo total de secagem
.
Observação importante: a solução numérica exige a conversão das temperaturas dadas em razão de mistura (umidade absoluta) do ar e, além disso, costuma exigir a curva de equilíbrio material (relação entre teor de umidade do tecido e a humidade do ar de superfície ou humidade de equilíbrio). Se essas informações (ou uma carta psicrométrica / tabelas) não forem fornecidas, não é possível obter um valor numérico final. Abaixo eu explico passo a passo o método completo que se usa numa prova e quais dados faltam para fechar o cálculo numérico.
Observação importante: a solução numérica exige a conversão das temperaturas dadas em razão de mistura (umidade absoluta) do ar e, além disso, costuma exigir a curva de equilíbrio material (relação entre teor de umidade do tecido
Passo 2
Conceitos e definições que vamos usar (aula rápida e concreta):
-
é o teor de água do tecido: . É variável no tempo. - Razão de mistura (ou umidade absoluta) do ar: denotarei por
(às vezes escrito ou ). Unidade: . - Para um secador adiabático, não há troca de calor com o ambiente: a energia trocada está entre ar e água evaporada. A massa de vapor que o ar carrega aumenta enquanto o tecido perde água.
- Balanço de massa de vapor (para a unidade de massa de tecido processada): se
é a vazão de ar seco em (isto é, kg ar seco por kg de tecido por hora, ou a unidade conveniente), então a remoção total de água do tecido está ligada à variação de razão de mistura do ar entre entrada e saída:
Essa equação é fundamental: a água removida do tecido vai para o ar.
- O “ar mínimo”
é o valor de que torna possível remover a quantidade desejada de água fazendo com que o ar de saída atinja exatamente a condição de saturação (ou a condição de equilíbrio correspondente à umidade residual do tecido). Numericamente,
onde
é a razão de mistura do ar saturado (ou o valor de H de equilíbrio) na saída do secador, correspondente ao estado de superfície/temperatura naquele extremo. Para usar essa fórmula precisamos conhecer
e
.
- Se usamos
de excesso de ar então .
Passo 3
Explicação do termo
e como ele se relaciona com o problema:
No enunciado aparece . Em problemas clássicos de secagem,
costuma significar a diferença entre a razão de mistura do ar e a razão de mistura de equilíbrio na superfície do tecido, isto é:
No enunciado aparece
onde
é a razão de mistura do ar que está interagindo com o tecido naquele instante (pode ser a razão de mistura local do ar que passa pelo mesmo elemento de tecido) e
é a razão de mistura de saturação na temperatura da superfície do tecido (ou valor de equilíbrio correspondente ao teor
).
No período de velocidade constante, a superfície do tecido está úmida e o processo é controlado pela transferência de vapor do filme para o ar; essa transferência é proporcional à diferença . Por isso o enunciado deu:
No período de velocidade constante, a superfície do tecido está úmida e o processo é controlado pela transferência de vapor do filme para o ar; essa transferência é proporcional à diferença
Aqui o coeficiente
tem unidades de
— ele incorpora a vazão relativa do ar (ou uma combinação de coeficientes de transferência e vazão). Para trabalhar com essa equação precisamos saber que
é numericamente conhecido ao longo do período de velocidade constante. Para um secador contracorrente adiabático,
não é necessariamente constante no tempo se o ar que chega ao elemento variar; mas uma estratégia clássica em provas é calcular
média usando
e o balanço global do ar. Vou explicar essa estratégia nos passos seguintes.
Passo 4
Procedimento prático — como determinar
e o valor real de
com 20% de excesso (passo-a-passo que você deve seguir na prova):
- Determine a razão de mistura do ar de entrada
a partir das temperaturas de bulbo seco e bulbo úmido da entrada. Para isso você precisa de relações psicrométricas (ou carta psicrométrica): a fórmula prática é
onde
é a pressão parcial de vapor do ar e
é a pressão total (usar
se não for dado). Para obter
a partir da temperatura de bulbo úmido e da temperatura de bulbo seco usa-se a equação do equilíbrio de bulbos ou a carta psicrométrica (nas tabelas/na prova normalmente você consulta). Sem esses dados numéricos não dá para calcular
.
2) Determine : isto exige a condição de equilíbrio na saída — geralmente o ar de saída estará próximo da razão de mistura de saturação à temperatura da superfície do tecido no final, ou a condição de equilíbrio do tecido seco. Em muitos exercícios de prova, assume-se que o ar de saída é saturado (100% UR) na temperatura de bulbo úmido correspondente à saída; então usa-se a razão de mistura de saturação à temperatura do bulbo úmido de saída. Novamente, isso exige dados psicrométricos ou tabelas.
3) Calcule .
4) Calcule .
2) Determine
3) Calcule
4) Calcule
Sem os valores numéricos de
e
não dá para obter
numericamente.
Passo 5
Como usar
(obtido acima) para determinar
que aparece em
:
- Para o período de velocidade constante a superfície do tecido está imediatamente em contato com o ar e localmente a diferença é
. No secador contracorrente adiabático, o ar que chega ao início do secador tem e ao sair tem . Para estimar uma média que entra na equação dada, uma abordagem prática (e a que costuma pedir-se em provas) é assumir que durante o período de velocidade constante a superfície permanece a uma humidade de equilíbrio associada à temperatura de superfície, e que o ar que retira a água tem uma diferença média de razão de mistura igual a
onde
é a razão de mistura de saturação/ equilíbrio correspondente à superfície durante o período constante. Em muitas questões de prova
é aproximadamente o valor de saturação à temperatura de bulbo úmido (ou é dado).
- Outra forma prática, usando o balanço global, é notar que se o período de velocidade constante dura desde
até um teor crítico então o total de água removida nesse período é , e essa água é carregada pelo ar: . Isso permite obter uma média para a diferença de humidade que aparece multiplicada por 10. Em qualquer caso, para números é preciso conhecer ou estimar e os valores de .
Passo 6
Determinação do ponto de transição entre período constante e período de queda (o famoso
) — o que o enunciado exige:
- Na teoria da secagem, o período de velocidade constante termina quando a superfície do material deixa de estar saturada, ou seja, quando a humidade de superfície cai abaixo do ponto de equilíbrio com o ar (ou quando a curva de equilíbrio cruza o valor de humidade do material). O valor
normalmente vem de uma curva de equilíbrio material (relação entre e humidade relativa do ar) ou às vezes é fornecido. - Sem essa curva de equilíbrio não se pode identificar numericamente
. Alguns exercícios simples assumem que o período constante vai até um valor explícito (por exemplo de até ) — mas no enunciado aqui não há fornecido. Portanto precisamos dessa curva ou de uma suposição adicional para continuar numericamente.
Passo 7
Integração das equações de secagem para obter os tempos nos dois períodos (passo matemático, estrutural):
- Período de velocidade constante (da condição inicial
até ): supondo que durante esse período seja aproximadamente constante e igual a (valor médio que você obteria usando e balanços ou sabendo ), a equação é
Integração simples entre
e
dá:
Expliquei: integrando
.
- Período de queda (de
até ): a equação dada é . Esta é uma equação diferencial linear separável. Integramos:
Isso resulta em
ou
Observe que este tempo depende apenas de
e
e não de
.
Passo 8
Resumo da expressão final do tempo total (forma prática que você deve apresentar na prova):
Portanto, para calcular numericamente
precisamos de:
-
(dado = ), (dado = ), e (valor de transição, não fornecido no enunciado); -
, que é a diferença de razão de mistura média durante o período constante; para obter precisamos do valor de (que vem de ), e para precisamos de e . Então falta a conversão das temperaturas de bulbo seco/úmido em razões de mistura (tabela ou carta psicrométrica) e falta a curva de equilíbrio que relaciona com humidade relativa/razão de mistura.
Passo 9
Como calcular numericamente tudo (instruções passo-a-passo com fórmulas que você deve aplicar assim que tiver os dados psicrométricos e a curva de equilíbrio):
- Usar a temperatura de bulbo úmido e bulbo seco da entrada para obter
. Procedimento padrão: a partir do bulbo úmido calcula-se a pressão parcial de vapor (consultando tabela ou usando equação de saturação) e aplica-se
com
pressão atmosférica. (Se na prova lhe der a carta psicrométrica, leia
direto.)
2. Obter : normalmente é a razão de mistura saturada à temperatura de superfície do tecido na saída (ou a condição de saturação de saída). Use tabela/carta psicrométrica.
3. Calcular .
4. Calcular .
5. Determinar : usar a curva de equilíbrio que relaciona
com a humidade do ar (ou a humidade relativa). O
é o teor a partir do qual a superfície deixa de estar saturada. Essa curva geralmente é fornecida ou marcada no enunciado.
6. Determinar : uma maneira prática é usar balanço local médio durante o período constante. Por exemplo, se durante o período constante o ar que entra tem
e o ar que sai ao término deste período tem
, então a média pode ser aproximada por
(ou calcular a média real usando a condição
).
7. Finalmente calcular
2. Obter
3. Calcular
4. Calcular
5. Determinar
6. Determinar
7. Finalmente calcular
e somar os dois para obter
.
Passo 10
Por que não forneci um número final? Empatia e orientação prática:
- Eu sei que você quer um número para “decorar” e copiar na prova, mas aqui faltam duas informações essenciais que não estão no enunciado tal como me foi enviado: (A) as tabelas/valores psicrométricos para converter as temperaturas de bulbo seco e úmido em razão de mistura
(sem isso não se calcula ); (B) a curva de equilíbrio material ou o valor explícito de (ou uma regra que diga até quando vale o período constante). - Se, na sua prova, o enunciado trouxer a carta psicrométrica ou as tabelas de pressão de vapor e a curva de equilíbrio do tecido, aplique exatamente o procedimento do Passo 9 e em poucos cálculos você obterá
. Eu já te dei todas as fórmulas e a estratégia para integrar as equações e combinar os balanços — isso é exatamente o que vão esperar que você faça.
Resposta
Não é possível fornecer um valor numérico do tempo de secagem porque faltam dados psicrométricos (valores de razão de mistura
derivados das temperaturas de bulbo seco/úmido) e a curva de equilíbrio (ou o valor de transição
). Com esses dados, procede-se assim: calcular
, tomar
, obter
e
, então