Questão 9

Um tecido com uma velocidade de secagem dada por: -\mathrm{dx} / \mathrm{dt}=10 \Delta \mathrm{H} no período de velocidade constante, e -dx/dt = 0,5x na taxa decrescente, deve ser secado a partir de um teor de água de 0,9 \mathrm{~kg} de água por quilograma de tecido totalmente seco para um teor de de água de 0,1 \mathrm{~kg} / \mathrm{kg} em um secador adiabático contracorrente. Aqui t é medido em horas. O ar na entrada tem uma temperatura de bulbo seco de 50{ }^{\circ} \mathrm{Ce} uma temperatura de bulbo úmido de 2{ }^{\circ} \mathrm{C}. Calcule o tempo de secagem se forem utilizados 20 \% a mais que a quantidade mínima de ar.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o tempo total de secagem de um tecido que vai de \,0,9\\ \mathrm{kg\;água/kg\;tecido}\,á até \,0,1\\ \mathrm{kg\;água/kg\;tecido}\,á num secador adiabático contracorrente quando se usa ar \,20\% acima do ar mínimo.
Dados fornecidos (listei-os claramente):
  • taxa de secagem no período de velocidade constante: \displaystyle -\frac{dx}{dt}=10\,\Delta H, onde \,x é o teor de água (\mathrm{kg\;água/kg\;tecido})á e \Delta H é uma diferença de razão de mistura (explico melhor adiante); t em horas;
  • taxa de secagem na taxa decrescente (período de queda): \displaystyle -\frac{dx}{dt}=0{,}5\,x;
  • teor inicial: \,x_i=0{,}9\\ \mathrm{kg/kg}; teor final: \,x_f=0{,}1\\ \mathrm{kg/kg};
  • secador adiabático contracorrente; ar de entrada com temperatura de bulbo seco \,50^\circ\mathrm{C} e temperatura de bulbo úmido \,2^\circ\mathrm{C} (anotei exatamente como no enunciado, porém isso parece estranho fisicamente; veja comentário adiante);
  • usa-se ar em \,20\% de excesso sobre a quantidade mínima.
O objetivo é obter o tempo total de secagem t_{\text{total}}.
Observação importante: a solução numérica exige a conversão das temperaturas dadas em razão de mistura (umidade absoluta) do ar e, além disso, costuma exigir a curva de equilíbrio material (relação entre teor de umidade do tecido x e a humidade do ar de superfície ou humidade de equilíbrio). Se essas informações (ou uma carta psicrométrica / tabelas) não forem fornecidas, não é possível obter um valor numérico final. Abaixo eu explico passo a passo o método completo que se usa numa prova e quais dados faltam para fechar o cálculo numérico.

Passo 2

Conceitos e definições que vamos usar (aula rápida e concreta):
  • x é o teor de água do tecido: \mathrm{kg\;água/kg\;tecido\\ seco}á. É variável no tempo.
  • Razão de mistura (ou umidade absoluta) do ar: denotarei por \,H (às vezes escrito W ou \omega). Unidade: \mathrm{kg\;vapor/kg\;ar\\ seco}.
  • Para um secador adiabático, não há troca de calor com o ambiente: a energia trocada está entre ar e água evaporada. A massa de vapor que o ar carrega aumenta enquanto o tecido perde água.
  • Balanço de massa de vapor (para a unidade de massa de tecido processada): se G é a vazão de ar seco em \mathrm{kg\;ar\\ seco/(kg\;tecido)} (isto é, kg ar seco por kg de tecido por hora, ou a unidade conveniente), então a remoção total de água do tecido \,(x_i-x_f) está ligada à variação de razão de mistura do ar entre entrada e saída:
G\,(H_{\text{out}}-H_{\text{in}})=x_i-x_f.
Essa equação é fundamental: a água removida do tecido vai para o ar.
  • O “ar mínimo” (G_{\min}) é o valor de G que torna possível remover a quantidade desejada de água fazendo com que o ar de saída atinja exatamente a condição de saturação (ou a condição de equilíbrio correspondente à umidade residual do tecido). Numericamente,
G_{\min}=\frac{x_i-x_f}{H_{\text{in}}-H_{s,\text{exit}}},
onde H_{s,\text{exit}} é a razão de mistura do ar saturado (ou o valor de H de equilíbrio) na saída do secador, correspondente ao estado de superfície/temperatura naquele extremo. Para usar essa fórmula precisamos conhecer H_{\text{in}} e H_{s,\text{exit}}.
  • Se usamos 20\% de excesso de ar então G=1{,}2\,G_{\min}.

Passo 3

Explicação do termo \Delta H e como ele se relaciona com o problema:
No enunciado aparece \Delta H. Em problemas clássicos de secagem, \Delta H costuma significar a diferença entre a razão de mistura do ar e a razão de mistura de equilíbrio na superfície do tecido, isto é:
\Delta H = H_{\text{ar}} - H_{s}(x),
onde H_{\text{ar}} é a razão de mistura do ar que está interagindo com o tecido naquele instante (pode ser a razão de mistura local do ar que passa pelo mesmo elemento de tecido) e H_{s}(x) é a razão de mistura de saturação na temperatura da superfície do tecido (ou valor de equilíbrio correspondente ao teor x).
No período de velocidade constante, a superfície do tecido está úmida e o processo é controlado pela transferência de vapor do filme para o ar; essa transferência é proporcional à diferença \Delta H. Por isso o enunciado deu:
-\frac{dx}{dt}=10\,\Delta H.
Aqui o coeficiente 10 tem unidades de \mathrm{(kg\;água/kg\;tecido)/[(kg\;vapor/kg\;ar)\cdot h]}á — ele incorpora a vazão relativa do ar (ou uma combinação de coeficientes de transferência e vazão). Para trabalhar com essa equação precisamos saber que \Delta H é numericamente conhecido ao longo do período de velocidade constante. Para um secador contracorrente adiabático, \Delta H não é necessariamente constante no tempo se o ar que chega ao elemento variar; mas uma estratégia clássica em provas é calcular \Delta H média usando G e o balanço global do ar. Vou explicar essa estratégia nos passos seguintes.

Passo 4

Procedimento prático — como determinar G_{\min} e o valor real de G com 20% de excesso (passo-a-passo que você deve seguir na prova):
  1. Determine a razão de mistura do ar de entrada H_{\text{in}} a partir das temperaturas de bulbo seco e bulbo úmido da entrada. Para isso você precisa de relações psicrométricas (ou carta psicrométrica): a fórmula prática é
H=\frac{0{,}622\,p_v}{P-p_v},
onde p_v é a pressão parcial de vapor do ar e P é a pressão total (usar P\approx101{,}325\\ \mathrm{kPa} se não for dado). Para obter p_v a partir da temperatura de bulbo úmido e da temperatura de bulbo seco usa-se a equação do equilíbrio de bulbos ou a carta psicrométrica (nas tabelas/na prova normalmente você consulta). Sem esses dados numéricos não dá para calcular H_{\text{in}}.
2) Determine H_{s,\text{exit}}: isto exige a condição de equilíbrio na saída — geralmente o ar de saída estará próximo da razão de mistura de saturação à temperatura da superfície do tecido no final, ou a condição de equilíbrio do tecido seco. Em muitos exercícios de prova, assume-se que o ar de saída é saturado (100% UR) na temperatura de bulbo úmido correspondente à saída; então usa-se a razão de mistura de saturação à temperatura do bulbo úmido de saída. Novamente, isso exige dados psicrométricos ou tabelas.
3) Calcule G_{\min}=(x_i-x_f)/(H_{\text{in}}-H_{s,\text{exit}}).
4) Calcule G=1{,}2\,G_{\min}.
Sem os valores numéricos de H_{\text{in}} e H_{s,\text{exit}} não dá para obter G numericamente.

Passo 5

Como usar G (obtido acima) para determinar \Delta H que aparece em \,-dx/dt=10\,\Delta H:
  • Para o período de velocidade constante a superfície do tecido está imediatamente em contato com o ar e localmente a diferença é \Delta H(t)=H_{\text{ar,local}}(t)-H_s. No secador contracorrente adiabático, o ar que chega ao início do secador tem H_{\text{in}} e ao sair tem H_{\text{out}}. Para estimar uma \Delta H média que entra na equação dada, uma abordagem prática (e a que costuma pedir-se em provas) é assumir que durante o período de velocidade constante a superfície permanece a uma humidade de equilíbrio associada à temperatura de superfície, e que o ar que retira a água tem uma diferença média de razão de mistura igual a
\Delta H_{\text{média}} = H_{\text{in}} - H_{s,\text{const}},é
onde H_{s,\text{const}} é a razão de mistura de saturação/ equilíbrio correspondente à superfície durante o período constante. Em muitas questões de prova H_{s,\text{const}} é aproximadamente o valor de saturação à temperatura de bulbo úmido (ou é dado).
  • Outra forma prática, usando o balanço global, é notar que se o período de velocidade constante dura desde x_i até um teor crítico x_c então o total de água removida nesse período é x_i-x_c, e essa água é carregada pelo ar: G\,(H_{\text{mid-out}}-H_{\text{in}})=x_i-x_c. Isso permite obter uma média para a diferença de humidade que aparece multiplicada por 10. Em qualquer caso, para números é preciso conhecer ou estimar x_c e os valores de H.

Passo 6

Determinação do ponto de transição entre período constante e período de queda (o famoso x_c) — o que o enunciado exige:
  • Na teoria da secagem, o período de velocidade constante termina quando a superfície do material deixa de estar saturada, ou seja, quando a humidade de superfície cai abaixo do ponto de equilíbrio com o ar (ou quando a curva de equilíbrio cruza o valor de humidade do material). O valor x_c normalmente vem de uma curva de equilíbrio material (relação entre x e humidade relativa do ar) ou às vezes é fornecido.
  • Sem essa curva de equilíbrio não se pode identificar numericamente x_c. Alguns exercícios simples assumem que o período constante vai até um valor explícito (por exemplo de 0{,}9 até 0{,}6) — mas no enunciado aqui não há x_c fornecido. Portanto precisamos dessa curva ou de uma suposição adicional para continuar numericamente.

Passo 7

Integração das equações de secagem para obter os tempos nos dois períodos (passo matemático, estrutural):
  • Período de velocidade constante (da condição inicial x_i até x_c): supondo que durante esse período \Delta H seja aproximadamente constante e igual a \Delta H_c (valor médio que você obteria usando G e balanços ou sabendo H_{s,\text{const}}), a equação é
-\frac{dx}{dt}=10\,\Delta H_c.
Integração simples entre x_i e x_c dá:
t_{\text{const}}=\frac{x_i-x_c}{10\,\Delta H_c}.
Expliquei: integrando \int_{x_i}^{x_c} dx = -\int_{0}^{t_{\text{const}}}10\,\Delta H_c\,dt.
  • Período de queda (de x_c até x_f): a equação dada é -dx/dt = 0{,}5\,x. Esta é uma equação diferencial linear separável. Integramos:
\frac{dx}{x} = -0{,}5\,dt \quad\Rightarrow\quad \int_{x_c}^{x_f}\frac{dx}{x}=-0{,}5\int_{0}^{t_{\text{queda}}}dt.
Isso resulta em
\ln\!\left(\frac{x_f}{x_c}\right) = -0{,}5\,t_{\text{queda}}
ou
t_{\text{queda}}=\frac{1}{0{,}5}\ln\!\left(\frac{x_c}{x_f}\right)=2\ln\!\left(\frac{x_c}{x_f}\right).
Observe que este tempo depende apenas de x_c e x_f e não de \Delta H.

Passo 8

Resumo da expressão final do tempo total (forma prática que você deve apresentar na prova):
t_{\text{total}}=t_{\text{const}}+t_{\text{queda}}=\frac{x_i-x_c}{10\,\Delta H_c}+2\ln\!\left(\frac{x_c}{x_f}\right).
Portanto, para calcular numericamente t_{\text{total}} precisamos de:
  • x_i (dado = 0{,}9), x_f (dado = 0{,}1), e x_c (valor de transição, não fornecido no enunciado);
  • \Delta H_c, que é a diferença de razão de mistura média durante o período constante; para obter \Delta H_c precisamos do valor de G (que vem de G=1{,}2\,G_{\min}), e para G_{\min} precisamos de H_{\text{in}} e H_{s,\text{exit}}. Então falta a conversão das temperaturas de bulbo seco/úmido em razões de mistura (tabela ou carta psicrométrica) e falta a curva de equilíbrio que relaciona x_c com humidade relativa/razão de mistura.

Passo 9

Como calcular numericamente tudo (instruções passo-a-passo com fórmulas que você deve aplicar assim que tiver os dados psicrométricos e a curva de equilíbrio):
  1. Usar a temperatura de bulbo úmido e bulbo seco da entrada para obter H_{\text{in}}. Procedimento padrão: a partir do bulbo úmido calcula-se a pressão parcial de vapor p_v (consultando tabela ou usando equação de saturação) e aplica-se
H_{\text{in}}=\frac{0{,}622\,p_v}{P-p_v},
com P pressão atmosférica. (Se na prova lhe der a carta psicrométrica, leia H_{\text{in}} direto.)
2. Obter H_{s,\text{exit}}: normalmente é a razão de mistura saturada à temperatura de superfície do tecido na saída (ou a condição de saturação de saída). Use tabela/carta psicrométrica.
3. Calcular G_{\min}=(x_i-x_f)/(H_{\text{in}}-H_{s,\text{exit}}).
4. Calcular G=1{,}2\,G_{\min}.
5. Determinar x_c: usar a curva de equilíbrio que relaciona x com a humidade do ar (ou a humidade relativa). O x_c é o teor a partir do qual a superfície deixa de estar saturada. Essa curva geralmente é fornecida ou marcada no enunciado.
6. Determinar \Delta H_c: uma maneira prática é usar balanço local médio durante o período constante. Por exemplo, se durante o período constante o ar que entra tem H_{\text{in}} e o ar que sai ao término deste período tem H_{*}, então a média pode ser aproximada por \Delta H_c\approx H_{\text{in}}-H_{s,\text{const}} (ou calcular a média real usando a condição G(H_{*}-H_{\text{in}})=x_i-x_c).
7. Finalmente calcular
t_{\text{const}}=\frac{x_i-x_c}{10\,\Delta H_c},\qquad t_{\text{queda}}=2\ln\!\left(\frac{x_c}{x_f}\right),
e somar os dois para obter t_{\text{total}}.

Passo 10

Por que não forneci um número final? Empatia e orientação prática:
  • Eu sei que você quer um número para “decorar” e copiar na prova, mas aqui faltam duas informações essenciais que não estão no enunciado tal como me foi enviado: (A) as tabelas/valores psicrométricos para converter as temperaturas de bulbo seco e úmido em razão de mistura H_{\text{in}} (sem isso não se calcula G_{\min}); (B) a curva de equilíbrio material ou o valor explícito de x_c (ou uma regra que diga até quando vale o período constante).
  • Se, na sua prova, o enunciado trouxer a carta psicrométrica ou as tabelas de pressão de vapor e a curva de equilíbrio do tecido, aplique exatamente o procedimento do Passo 9 e em poucos cálculos você obterá t_{\text{total}}. Eu já te dei todas as fórmulas e a estratégia para integrar as equações e combinar os balanços — isso é exatamente o que vão esperar que você faça.

Resposta

Não é possível fornecer um valor numérico do tempo de secagem porque faltam dados psicrométricos (valores de razão de mistura H_{\text{in}} derivados das temperaturas de bulbo seco/úmido) e a curva de equilíbrio (ou o valor de transição x_c). Com esses dados, procede-se assim: calcular G_{\min}=(x_i-x_f)/(H_{\text{in}}-H_{s,\text{exit}}), tomar G=1{,}2\,G_{\min}, obter \Delta H_c e x_c, então
t_{\text{total}}=\frac{x_i-x_c}{10\,\Delta H_c}+2\ln\!\left(\frac{x_c}{x_f}\right).

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