(Questão 11 - Seção 3.4 - Magalhães) Seja X \sim B(n=5, p=1 / 2) e defina Y=\frac{1}{2}[\max (X, 4)+\min (X, 2)].
(a) Obtenha p(y) e F(y).
(b) Calcule P(Y \leq 2) e P(Y>2 \mid Y \leq 4).

Passo 1

O enunciado dá que X tem distribuição binomial com parâmetros n=5 e p=1/2, isto é X\sim B(5,1/2). Define-se a variável Y por
Y=\tfrac{1}{2}\big[\max(X,4)+\min(X,2)\big].
As perguntas são:
  • (a) Obter a função massa de probabilidade p(y)=P(Y=y) e a função de distribuição acumulada F(y)=P(Y\le y).
  • (b) Calcular P(Y\le 2) e P(Y>2\mid Y\le 4).
Informações relevantes fornecidas:
P(X=k)=\binom{5}{k}\Big(\tfrac{1}{2}\Big)^5=\frac{\binom{5}{k}}{32},\qquad k=0,1,2,3,4,5.

Passo 2

Vou lembrar como calcular P(X=k) para cada k. A fórmula da binomial é
P(X=k)=\binom{5}{k}p^k(1-p)^{5-k}.
Aqui p=\tfrac{1}{2}, logo
P(X=k)=\binom{5}{k}\Big(\tfrac{1}{2}\Big)^5=\frac{\binom{5}{k}}{32}.
Calculo os valores numéricos (vou usar que \binom{5}{0}=1,\binom{5}{1}=5,\binom{5}{2}=10,\binom{5}{3}=10,\binom{5}{4}=5,\binom{5}{5}=1):
\begin{aligned} P(X=0)&=\tfrac{1}{32},\\\ P(X=1)&=\tfrac{5}{32},\\\ P(X=2)&=\tfrac{10}{32},\\\ P(X=3)&=\tfrac{10}{32},\\\ P(X=4)&=\tfrac{5}{32},\\\ P(X=5)&=\tfrac{1}{32}. \end{aligned}

Passo 3

Entender o efeito de \max\) e \(\min\) na definição de \(Y\). Por definição: - \(\max(X,4)=\begin{cases}4,&X<4,\\\ X,&X\ge4,\end{cases}
  • \min(X,2)=\begin{cases}X,&X\le2,\\\\ 2,&X>2.\end{cases}
Agora calculo Y para cada possível valor de X\in\{0,1,2,3,4,5\}. Vou fazer isso passo a passo e mostrar os resultados.

Passo 4

Para cada X=k calculo \max(k,4), \min(k,2) e Y.
\begin{aligned} X=0:&\quad \max(0,4)=4,\\ \min(0,2)=0\\ \Rightarrow\\ Y=\tfrac{1}{2}(4+0)=2,\\\ X=1:&\quad \max(1,4)=4,\\ \min(1,2)=1\\ \Rightarrow\\ Y=\tfrac{1}{2}(4+1)=2{,}5,\\\ X=2:&\quad \max(2,4)=4,\\ \min(2,2)=2\\ \Rightarrow\\ Y=\tfrac{1}{2}(4+2)=3,\\\ X=3:&\quad \max(3,4)=4,\\ \min(3,2)=2\\ \Rightarrow\\ Y=\tfrac{1}{2}(4+2)=3,\\\ X=4:&\quad \max(4,4)=4,\\ \min(4,2)=2\\ \Rightarrow\\ Y=\tfrac{1}{2}(4+2)=3,\\\ X=5:&\quad \max(5,4)=5,\\ \min(5,2)=2\\ \Rightarrow\\ Y=\tfrac{1}{2}(5+2)=3{,}5. \end{aligned}
Observação: eu usei diretamente os valores de X listados no enunciado. Os resultados mostram que Y só assume os valores \{2,\\\ 2{,}5,\\\ 3,\\\ 3{,}5\}.

Passo 5

Agora obtenho a massa de probabilidade de Y somando as probabilidades de X que levam ao mesmo valor de Y.
  • Y=2 ocorre somente quando X=0. Então
p_Y(2)=P(Y=2)=P(X=0)=\frac{1}{32}.
  • Y=2{,}5 ocorre somente quando X=1. Então
p_Y(2{,}5)=P(X=1)=\frac{5}{32}.
  • Y=3 ocorre quando X\in\{2,3,4\}. Então
p_Y(3)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=\frac{10+10+5}{32}=\frac{25}{32}.
  • Y=3{,}5 ocorre somente quando X=5. Então
p_Y(3{,}5)=P(X=5)=\frac{1}{32}.
Verificação rápida: 1+5+25+1=32 no numerador, soma 1 — tudo consistente.

Passo 6

Escrevo a função massa p_Y(y) de forma clara (valores fora do suporte têm probabilidade zero):
\begin{aligned} p_Y(2)&=\tfrac{1}{32},\\\ p_Y(2{,}5)&=\tfrac{5}{32},\\\ p_Y(3)&=\tfrac{25}{32},\\\ p_Y(3{,}5)&=\tfrac{1}{32},\\\ p_Y(y)&=0\\ \text{para todo }y\notin\{2,2{,}5,3,3{,}5\}. \end{aligned}

Passo 7

Agora construo a função de distribuição acumulada F_Y(y)=P(Y\le y). Como Y é discreta, F_Y é em degraus; calculo os degraus em cada intervalo entre valores possíveis:
\begin{aligned} \text{Se }y<2:\\ &F_Y(y)=0,\\\ \text{Se }2\le y<2{,}5:\\ &F_Y(y)=P(Y\le 2)=p_Y(2)=\tfrac{1}{32},\\\ \text{Se }2{,}5\le y<3:\\ &F_Y(y)=P(Y\le 2{,}5)=\tfrac{1+5}{32}=\tfrac{6}{32}=\tfrac{3}{16},\\\ \text{Se }3\le y<3{,}5:\\ &F_Y(y)=P(Y\le 3)=\tfrac{1+5+25}{32}=\tfrac{31}{32},\\\ \text{Se }y\ge 3{,}5:\\ &F_Y(y)=1. \end{aligned}

Passo 8

Calculo as probabilidades pedidas em (b).
Primeiro,
P(Y\le 2)=F_Y(2)=p_Y(2)=\frac{1}{32}.
Depois, P(Y>2\mid Y\le 4). Note que o maior valor de Y é 3{,}5, logo o evento \{Y\le 4\} ocorre com probabilidade 1 (é o universo inteiro da variável Y). Portanto
P(Y>2\mid Y\le 4)=\frac{P(Y>2\\ \text{e}\\ Y\le 4)}{P(Y\le 4)}=\frac{P(Y>2)}{1}=P(Y>2).
Agora P(Y>2)=1-P(Y\le 2)=1-\tfrac{1}{32}=\tfrac{31}{32}. Alternativamente soma direta: p_Y(2{,}5)+p_Y(3)+p_Y(3{,}5)=\tfrac{5+25+1}{32}=\tfrac{31}{32}.

Passo 9

Resumo rápido de checagem: as probabilidades do pmf somam 1 e a CDF está coerente com os saltos nos pontos 2,2{,}5,3,3{,}5. Você foi bem — deu para montar tudo só analisando as imagens de \max e \min e somando probabilidades do binomial.

Resposta

[p_Y(2)=\tfrac{1}{32})
p_Y(2{,}5)=\tfrac{5}{32}
p_Y(3)=\tfrac{25}{32}
p_Y(3{,}5)=\tfrac{1}{32}
(F_Y(y)= \begin{cases} 0,&y<2,\\[4pt] \tfrac{1}{32},&2\le y<2{,}5,\\[4pt] \tfrac{3}{16},&2{,}5\le y<3,\\[4pt] \tfrac{31}{32},&3\le y<3{,}5,\\[4pt] 1,&y\ge 3{,}5, \end{cases}]
P(Y\le 2)=\tfrac{1}{32}
P(Y>2\mid Y\le 4)=\tfrac{31}{32}]

Exercícios relacionados