(Questão 44 - Seção 3.4 - Magalhães) Considere as variáveis
e
independentes e identicamente distribuídas com densidade Normal Padrão. Defina
e
.
(a) Obtenha a densidade conjunta de
e
.
(b) Mostre que
tem densidade Cauchy Padrão.
(a) Obtenha a densidade conjunta de
(b) Mostre que
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
- Dados:
e são independentes e identicamente distribuídas com densidade Normal Padrão. - Definições:
e . - Perguntas:
(a) Obter a densidade conjunta dee .
(b) Mostrar quetem densidade Cauchy Padrão.
Informações relevantes listadas:
- A densidade conjunta de
, por independência e normal padrão, é
- A transformação de variáveis é
. Note que tem probabilidade zero e que a transformação tem singularidade técnica em (caso várias preimagens), mas isso ocorre num conjunto de medida nula — não prejudica as densidades praticamente.
Passo 2
Encontrar a inversa da transformação (isto é essencial para aplicar a fórmula do jacobiano).
Parto de
, então
. Como
, substituo
:
Isolando
e depois
:
Observação didática: a inversa existe para
. O caso
corresponde a
e então
; isso é um conjunto de medida zero, logo não afeta as densidades marginais que vamos obter por integração.
Passo 3
Calcular o jacobiano da transformação
.
Usamos as expressões obtidas:
Calculo as derivadas parciais (mostrando o passo):
O determinante do jacobiano é
Simplificando:
Tomando o valor absoluto (pois a fórmula usa
):
Passo 4
Aplicar a fórmula de mudança de variáveis para densidades:
A densidade conjunta de
é
Substituo
e as expressões de
:
Agora expresso
em termos de
:
Logo a densidade conjunta fica, em forma final:
válida para
(lembrando a observação sobre
que é irrelevante para medidas).
Passo 5
Obter a densidade marginal de
integrando em
. Isto prova que
é Cauchy Padrão.
Parto da expressão obtida:
Para simplificar, defino a constante positiva
Então
Como integrando é função par em
, uso
Calculo a integral por substituição: seja
, então
, portanto
Logo a integral completa vale
. Substituindo em
:
Mas por definição
, então
. Assim
para todo
. Esta é exatamente a densidade da Cauchy Padrão.
Comentário encorajador: veja como a simetria e a forma exponencial da normal fazem com que a integral de
contra um gaussiano quadrático dê um resultado bem simples — é por isso que a razão de duas normais independentes tem essa famosa distribuição de Cauchy.
Resposta
(a)
(b)