(Questão 44 - Seção 3.4 - Magalhães) Considere as variáveis X e Y independentes e identicamente distribuídas com densidade Normal Padrão. Defina U=X+Y e V=\frac{X}{Y}.
(a) Obtenha a densidade conjunta de U e V.
(b) Mostre que V tem densidade Cauchy Padrão.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
  • Dados: X e Y são independentes e identicamente distribuídas com densidade Normal Padrão.
  • Definições: U = X+Y e V = \dfrac{X}{Y}.
  • Perguntas:
    (a) Obter a densidade conjunta de U e V.
    (b) Mostrar que V tem densidade Cauchy Padrão.
Informações relevantes listadas:
  • A densidade conjunta de (X,Y), por independência e normal padrão, é
f_{X,Y}(x,y)=\frac{1}{2\pi}\,e^{-\frac{x^{2}+y^{2}}{2}}.
  • A transformação de variáveis é (x,y)\mapsto(u,v)=(x+y,\;x/y). Note que y=0 tem probabilidade zero e que a transformação tem singularidade técnica em v=-1 (caso u=0 várias preimagens), mas isso ocorre num conjunto de medida nula — não prejudica as densidades praticamente.

Passo 2

Encontrar a inversa da transformação (isto é essencial para aplicar a fórmula do jacobiano).
Parto de v=\dfrac{x}{y}, então x=v y. Como u=x+y, substituo x:
u = v y + y = (v+1)\,y.
Isolando y e depois x:
y = \frac{u}{v+1},\qquad x = v\,y = \frac{v\,u}{v+1}.
Observação didática: a inversa existe para v\neq -1. O caso v=-1 corresponde a x=-y e então u=0; isso é um conjunto de medida zero, logo não afeta as densidades marginais que vamos obter por integração.

Passo 3

Calcular o jacobiano da transformação (u,v)\mapsto(x,y).
Usamos as expressões obtidas:
x(u,v)=\frac{v\,u}{v+1},\qquad y(u,v)=\frac{u}{v+1}.
Calculo as derivadas parciais (mostrando o passo):
\frac{\partial x}{\partial u}=\frac{v}{v+1},\qquad \frac{\partial x}{\partial v}=\frac{u}{(v+1)^2},
\frac{\partial y}{\partial u}=\frac{1}{v+1},\qquad \frac{\partial y}{\partial v}=-\frac{u}{(v+1)^2}.
O determinante do jacobiano é
J=\det\begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\[4pt] \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} =\frac{v}{v+1}\left(-\frac{u}{(v+1)^2}\right)-\frac{u}{(v+1)^2}\cdot\frac{1}{v+1}.
Simplificando:
J=-\frac{u v}{(v+1)^3}-\frac{u}{(v+1)^3}=-\frac{u(v+1)}{(v+1)^3}=-\frac{u}{(v+1)^2}.
Tomando o valor absoluto (pois a fórmula usa |J|):
|J|=\frac{|u|}{(v+1)^2}.]

Passo 4

Aplicar a fórmula de mudança de variáveis para densidades:
A densidade conjunta de (U,V) é
f_{U,V}(u,v)=f_{X,Y}\big(x(u,v),y(u,v)\big)\cdot |J|.
Substituo f_{X,Y} e as expressões de x,y,J:
f_{U,V}(u,v)=\frac{1}{2\pi}\exp\!\left(-\frac{x(u,v)^2+y(u,v)^2}{2}\right)\cdot\frac{|u|}{(v+1)^2}.
Agora expresso x^2+y^2 em termos de u,v:
x^2+y^2=\left(\frac{v u}{v+1}\right)^2+\left(\frac{u}{v+1}\right)^2 =\frac{u^2(v^2+1)}{(v+1)^2}.
Logo a densidade conjunta fica, em forma final:
\boxed{\,f_{U,V}(u,v)=\frac{1}{2\pi}\,\frac{|u|}{(v+1)^2}\, \exp\!\left(-\frac{u^2\,(v^2+1)}{2\,(v+1)^2}\right)\,}
válida para (u,v)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R} (lembrando a observação sobre v=-1 que é irrelevante para medidas).

Passo 5

Obter a densidade marginal de V integrando em u. Isto prova que V é Cauchy Padrão.
Parto da expressão obtida:
f_{V}(v)=\int_{-\infty}^{\infty} f_{U,V}(u,v)\,du =\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{2\pi}\,\frac{|u|}{(v+1)^2}\, \exp\!\left(-\frac{u^2\,(v^2+1)}{2\,(v+1)^2}\right)\,du.
Para simplificar, defino a constante positiva
a=\frac{v^2+1}{(v+1)^2}.
Então
f_{V}(v)=\frac{1}{2\pi}\frac{1}{(v+1)^2}\int_{-\infty}^{\infty}|u|\,e^{-\frac{a}{2}u^2}\,du.
Como integrando é função par em u, uso
\int_{-\infty}^{\infty}|u|\,e^{-\frac{a}{2}u^2}\,du=2\int_{0}^{\infty}u\,e^{-\frac{a}{2}u^2}\,du.
Calculo a integral por substituição: seja t=\dfrac{a}{2}u^2, então dt=a u\,du, portanto
\int_{0}^{\infty}u\,e^{-\frac{a}{2}u^2}\,du=\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-t}}{a}\,dt=\frac{1}{a}.
Logo a integral completa vale 2\cdot\frac{1}{a}=\dfrac{2}{a}. Substituindo em f_V:
f_{V}(v)=\frac{1}{2\pi}\frac{1}{(v+1)^2}\cdot\frac{2}{a}=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{1}{a\,(v+1)^2}.
Mas por definição a=\dfrac{v^2+1}{(v+1)^2}, então a\,(v+1)^2=v^2+1. Assim
\boxed{\,f_{V}(v)=\frac{1}{\pi\,(1+v^2)}\,}
para todo v\in\mathbb{R}. Esta é exatamente a densidade da Cauchy Padrão.
Comentário encorajador: veja como a simetria e a forma exponencial da normal fazem com que a integral de |u| contra um gaussiano quadrático dê um resultado bem simples — é por isso que a razão de duas normais independentes tem essa famosa distribuição de Cauchy.

Resposta

(a) f_{U,V}(u,v)=\frac{1}{2\pi}\,\frac{|u|}{(v+1)^2}\, \exp\!\left(-\frac{u^2\,(v^2+1)}{2\,(v+1)^2}\right).
(b) f_{V}(v)=\frac{1}{\pi\,(1+v^2)}.

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