Questão-11. Seja V=Pn(R) um espaço vetorial real dos polinômios de grau até 3 , e seja A=1, t, t^2, t^3 uma base de V .
a) Mostre que B=1,1-t, t+t^2, t^2+t^3 é uma base de V .
b) Se um vetor v in V tem como matriz de coordenadas [v]A=[r1 2 -2 -1] determine a matriz de coordenadas do vetor v em relaçao à base B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço vetorial V = P3(R) , que é o conjunto de todos os polinômios de grau até 3 com coeficientes reais. A base padrão A = 1, t, t^2, t^3 é como a nossa “linguagem” para esse espaço. O exercício tem duas partes:
a) Queremos provar que B = 1, 1 - t, t + t^2, t^2 + t^3 também é uma base para V .
b) Dado um vetor v com coordenadas em relação à base A , queremos achar suas coordenadas em relação à base B .

Passo 2

Primeiro, vamos tratar da parte a). Para provar que B é uma base, precisamos mostrar que seus vetores são linearmente independentes e que geram todo o espaço V . Mas como V tem dimensão 4 (já que a base A tem 4 vetores), basta mostrar que os 4 vetores de B são linearmente independentes. Se isso for verdade, eles automaticamente vão gerar V .

Passo 3

Então, vamos verificar a independência linear dos vetores em B . Consideramos uma combinação linear igual a zero:
a cdot 1 + b cdot (1 - t) + c cdot (t + t^2) + d cdot (t^2 + t^3) = 0
Isso significa que para todos os valores de t , essa equação deve ser verdadeira. Vamos expandir e agrupar os termos semelhantes:
(a + b) + (-b + c)t + ct^2 + dt^3 = 0

Passo 4

Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de [t) a zero:
Começamos pela última equação: (d = 0].

Passo 5

Substituindo d = 0 na terceira equação: c + 0 = 0 c = 0 .
Agora, na segunda equação: -b + 0 = 0 b = 0 .
Finalmente, na primeira equação: a + 0 = 0 a = 0 .

Passo 6

Como a única solução para os coeficientes a, b, c, d é a trivial (todos iguais a zero), isso confirma que os vetores de B são linearmente independentes. Portanto, B é uma base de V .

Passo 7

Agora, vamos para a parte b). Queremos encontrar as coordenadas de um vetor v in V em relação à base B , dado que suas coordenadas em relação à base A são:
[v]A = 1 2 -2 -1
Primeiro, precisamos entender como mudar de coordenadas da base A para a base B .

Passo 8

A ideia é encontrar a matriz de mudança de base de A para B . Para isso, expressamos cada vetor de B em termos da base A .
Vamos fazer isso para cada vetor em B :
  1. 1 = 1 cdot 1 + 0 cdot t + 0 cdot t^2 + 0 cdot t^3 [1]A = 1000
  2. 1 - t = 1 cdot 1 + (-1) cdot t + 0 cdot t^2 + 0 cdot t^3 [1 - t]A = 1-100
  3. t + t^2 = 0 cdot 1 + 1 cdot t + 1 cdot t^2 + 0 cdot t^3 [t + t^2]A = 0110
  4. t^2 + t^3 = 0 cdot 1 + 0 cdot t + 1 cdot t^2 + 1 cdot t^3 [t^2 + t^3]A = 0011

Passo 9

Com isso, a matriz de mudança de base P de A para B é formada pelas coordenadas dos vetores de B em relação a A :
P = 1 & 1 & 0 & 0 0 & -1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 1

Passo 10

Para encontrar as coordenadas de v em relação a B , usamos a seguinte relação:
[v]B = P^-1 [v]A
Primeiro, precisamos calcular a inversa da matriz P .

Passo 11

Observando que P é uma matriz triangular superior com 1’s na diagonal, sua inversa também será triangular superior. Podemos calcular P^-1 de forma direta:
P^-1 = 1 & -1 & 1 & -1 0 & -1 & 1 & -1 0 & 0 & 1 & -1 0 & 0 & 0 & 1

Passo 12

Agora, multiplicamos P^-1 pela coordenada [v]A :
[v]B = P^-1 1 2 -2 -1 = 1 cdot 1 + (-1) cdot 2 + 1 cdot (-2) + (-1) cdot (-1) 0 cdot 1 + (-1) cdot 2 + 1 cdot (-2) + (-1) cdot (-1) 0 cdot 1 + 0 cdot 2 + 1 cdot (-2) + (-1) cdot (-1) 0 cdot 1 + 0 cdot 2 + 0 cdot (-2) + 1 cdot (-1)

Passo 13

Fazendo as contas:
  1. 1 - 2 - 2 + 1 = -2
  2. 0 - 2 - 2 + 1 = -3
  3. 0 + 0 - 2 + 1 = -1
  4. 0 + 0 + 0 - 1 = -1
Então,
[v]B = -2 -3 -1 -1

Resposta

a) Sim, B = 1, 1 - t, t + t^2, t^2 + t^3 é uma base de V .
b) A matriz de coordenadas do vetor v na base B é:
[v]B = -2 -3 -1 -1

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