Questão-11. Seja um espaço vetorial real dos polinômios de grau até 3 , e seja uma base de V .
a) Mostre que é uma base de V .
b) Se um vetor tem como matriz de coordenadas determine a matriz de coordenadas do vetor v em relaçao à base B.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço vetorial V = P3(R) , que é o conjunto de todos os polinômios de grau até 3 com coeficientes reais. A base padrão A = 1, t, t^2, t^3 é como a nossa “linguagem” para esse espaço. O exercício tem duas partes:
a) Queremos provar que B = 1, 1 - t, t + t^2, t^2 + t^3 também é uma base para V .
b) Dado um vetor v com coordenadas em relação à base A , queremos achar suas coordenadas em relação à base B .
Passo 2
Primeiro, vamos tratar da parte a). Para provar que B é uma base, precisamos mostrar que seus vetores são linearmente independentes e que geram todo o espaço V . Mas como V tem dimensão 4 (já que a base A tem 4 vetores), basta mostrar que os 4 vetores de B são linearmente independentes. Se isso for verdade, eles automaticamente vão gerar V .
Passo 3
Então, vamos verificar a independência linear dos vetores em B . Consideramos uma combinação linear igual a zero:
a cdot 1 + b cdot (1 - t) + c cdot (t + t^2) + d cdot (t^2 + t^3) = 0
Isso significa que para todos os valores de t , essa equação deve ser verdadeira. Vamos expandir e agrupar os termos semelhantes:
(a + b) + (-b + c)t + ct^2 + dt^3 = 0
Passo 4
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de [t) a zero:
Começamos pela última equação: (d = 0].
Passo 5
Substituindo d = 0 na terceira equação: c + 0 = 0 → c = 0 .
Agora, na segunda equação: -b + 0 = 0 → b = 0 .
Finalmente, na primeira equação: a + 0 = 0 → a = 0 .
Passo 6
Como a única solução para os coeficientes a, b, c, d é a trivial (todos iguais a zero), isso confirma que os vetores de B são linearmente independentes. Portanto, B é uma base de V .
Passo 7
Agora, vamos para a parte b). Queremos encontrar as coordenadas de um vetor v in V em relação à base B , dado que suas coordenadas em relação à base A são:
[v]A = 1 2 -2 -1
Primeiro, precisamos entender como mudar de coordenadas da base A para a base B .
Passo 8
A ideia é encontrar a matriz de mudança de base de A para B . Para isso, expressamos cada vetor de B em termos da base A .
Para encontrar as coordenadas de v em relação a B , usamos a seguinte relação:
[v]B = P^-1 [v]A
Primeiro, precisamos calcular a inversa da matriz P .
Passo 11
Observando que P é uma matriz triangular superior com 1’s na diagonal, sua inversa também será triangular superior. Podemos calcular P^-1 de forma direta: