Questão-3. Verdadeiro ( V ) ou falso ( F ). Justifique sua resposta.
a) ( ) A interseção de dois conjuntos LI é um conjunto LI
b) ( ) Se excluirmos um vetor não nulo de um conjunto LD o conjunto se torna LI
c) ( ) Se excluirmos um vetor qualquer de um conjunto LI o conjunto permanece LI
d) ( ) Seja B um conjunto LI do espaço V . Se incluirmos um vetor v in V no conjunto B ele se torna LD
e) ( ) Todo conjunto que contém o vetor nulo é LD
f) ( ) A interseção de dois planos arbitrários do R^3 é um subespaço vetorial do R^3
g) ( ) Seja V um espaço vetorial de dimensão n, então toda base de V tem n vetores
h) ( ) A dimensão de um espaço vetorial V é quantidade de vetores do espaço vetorial V
i) ( ) A união de dois subespaços vetoriais do espaço V é um subespaço vetorial de vee

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão envolve decidir se algumas afirmações sobre conjuntos linearmente independentes (LI) e dependentes (LD), subespaços vetoriais, bases e dimensões em espaços vetoriais são verdadeiras ou falsas. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de independência linear, dependência linear, subespaços vetoriais, bases e dimensões.

Passo 2

a) ( ) A interseção de dois conjuntos LI é um conjunto LI
Primeiro, precisamos lembrar o que significa um conjunto ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é LI se nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros. Agora, a interseção de dois conjuntos LI contém apenas os vetores que estão em ambos os conjuntos. Se ambos os conjuntos são LI, então qualquer subconjunto deles também é LI, já que não há dependência criada ao pegar apenas os vetores comuns.

Passo 3

b) ( ) Se excluirmos um vetor não nulo de um conjunto LD o conjunto se torna LI
Um conjunto LD tem pelo menos um vetor que pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Se removemos um vetor não nulo que causa essa dependência, o que sobra pode se tornar LI. No entanto, isso nem sempre é garantido, pois poderia haver outras dependências no conjunto original.

Passo 4

c) ( ) Se excluirmos um vetor qualquer de um conjunto LI o conjunto permanece LI
Se temos um conjunto LI e removemos qualquer vetor dele, o conjunto resultante ainda não terá nenhuma dependência linear, já que originalmente nenhum vetor era combinação dos outros. Portanto, remover um vetor de um conjunto LI mantém a independência linear.

Passo 5

d) ( ) Seja B um conjunto LI do espaço V. Se incluirmos um vetor v in V no conjunto B ele se torna LD
Adicionar um vetor a um conjunto LI pode tornar o conjunto LD se o novo vetor puder ser escrito como uma combinação linear dos vetores já presentes em B. Mas isso não acontece automaticamente para qualquer vetor; depende da relação do vetor adicionado com os existentes.

Passo 6

e) ( ) Todo conjunto que contém o vetor nulo é LD
O vetor nulo pode ser escrito como 0 times v para qualquer vetor v, incluindo ele mesmo. Isso significa que sempre há uma combinação linear não trivial que resulta no vetor nulo, tornando o conjunto LD.

Passo 7

f) ( ) A interseção de dois planos arbitrários do R^3 é um subespaço vetorial do R^3
Dois planos em R^3 podem se intersectar em uma linha (que é um subespaço) ou apenas no vetor zero (também um subespaço). Portanto, a interseção de dois planos arbitrários sempre será um subespaço vetorial de R^3 .

Passo 8

g) ( ) Seja V um espaço vetorial de dimensão n , então toda base de V tem n vetores
Por definição, a dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em qualquer base desse espaço. Então, se V tem dimensão n , toda base de V deve ter exatamente n vetores.

Passo 9

h) ( ) A dimensão de um espaço vetorial V é quantidade de vetores do espaço vetorial V
A dimensão de V é o número de vetores em uma base de V , não a quantidade total de vetores no espaço. Por exemplo, R^2 tem dimensão 2, mas contém infinitos vetores.

Passo 10

i) ( ) A união de dois subespaços vetoriais do espaço V é um subespaço vetorial de V
A união de dois subespaços vetoriais nem sempre é um subespaço. Para ser um subespaço, a união deve ser fechada sob adição e multiplicação por escalar, o que geralmente não ocorre a menos que um dos subespaços esteja contido no outro.

Resposta

a) V – A interseção de dois conjuntos LI é LI.
b) F – Remover um vetor não nulo de um LD não garante que se torne LI.
c) V – Remover um vetor de um LI mantém a independência.
d) F – Adicionar um vetor a um LI não necessariamente o torna LD.
e) V – Conjuntos que contêm o vetor nulo são LD.
f) V – A interseção de dois planos em R^3 é um subespaço.
g) V – Toda base de V tem n vetores se dim(V) = n .
h) F – Dimensão é o número de vetores em uma base, não a quantidade total de vetores.
i) F – A união de dois subespaços vetoriais nem sempre é um subespaço.

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