Questão 11 - Seja f(x-y) diferenciável, mostre que \frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}=0

Passo 1

O enunciado considera a função de duas variáveis definida por \displaystyle F(x,y)=f(x-y), onde f é diferenciável como função de uma variável. O conteúdo aqui é a aplicação da regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Defina
u = x - y,
de modo que
F(x,y) = f(u).
Pela regra da cadeia para derivadas parciais, temos
\frac{\partial F}{\partial x} = f'(u)\,\frac{\partial u}{\partial x}, \quad \frac{\partial F}{\partial y} = f'(u)\,\frac{\partial u}{\partial y}.

Passo 3

Como \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}=1
e \displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}=-1,
segue-se que
\frac{\partial F}{\partial x} = f'(u)\cdot 1 = f'(u), \qquad \frac{\partial F}{\partial y} = f'(u)\cdot(-1) = -\,f'(u).
Somando essas duas expressões, obtemos
\frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} = f'(u) - f'(u) = 0.

Resposta

0.

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