Questão 1 - Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções:
f(x, y)=y \operatorname{arcsen}\left(\frac{1}{x y}\right)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y)=y \,\arcsin\!\Bigl(\frac{1}{x\,y}\Bigr),
que é um produto entre y e \arcsin(u) com u=\frac{1}{xy}. Para resolver, vamos usar:
  1. Regra do produto para derivar y\cdot[\cdot] em relação a cada variável.
  2. Regra da cadeia para derivar \arcsin(u), lembrando que
\frac{d}{du}\bigl[\arcsin(u)\bigr]=\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}.

Passo 2

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}:
• Tratamos y como constante e aplicamos a regra do produto:
\frac{\partial f}{\partial x} = y \;\frac{d}{dx}\Bigl[\arcsin(u)\Bigr] \quad\text{com}\quad u=\frac{1}{x\,y}.
• Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\Bigl[\arcsin(u)\Bigr] =\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}.
• Calculamos u'=\frac{d}{dx}\bigl[(xy)^{-1}\bigr]:
u'=-1\,(xy)^{-2}\cdot y =-\frac{y}{x^2y^2} =-\frac{1}{x^2y}.
• Logo,
\frac{\partial f}{\partial x} = y\;\frac{-\frac{1}{x^2y}}{\sqrt{1-\frac{1}{x^2y^2}}} =-\frac{1}{x^2}\;\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{x^2y^2}}}.

Passo 3

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}:
• Agora aplicamos a regra do produto a f(x,y)=y\cdot\arcsin(u):
\frac{\partial f}{\partial y} =\arcsin(u) + y\;\frac{d}{dy}\bigl[\arcsin(u)\bigr].
• De novo, pela cadeia,
\frac{d}{dy}\bigl[\arcsin(u)\bigr] =\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}},
com u=\frac{1}{xy}. Calculamos
u'=\frac{d}{dy}\bigl[(xy)^{-1}\bigr] =-1\,(xy)^{-2}\cdot x =-\frac{x}{x^2y^2} =-\frac{1}{x\,y^2}.
• Então o segundo termo fica
y\;\frac{-\frac{1}{x\,y^2}}{\sqrt{1-\frac{1}{x^2y^2}}} =-\frac{1}{x\,y}\;\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{x^2y^2}}}.
• Portanto,
\frac{\partial f}{\partial y} =\arcsin\!\Bigl(\frac{1}{xy}\Bigr) -\frac{1}{x\,y}\;\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{x^2y^2}}}.

Resposta

\boxed{ \begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) &=-\frac{1}{x^2}\;\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{x^2y^2}}},\\[6pt] \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) &=\arcsin\!\Bigl(\tfrac{1}{xy}\Bigr) -\frac{1}{x\,y}\;\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{x^2y^2}}}. \end{aligned} }]

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