Questão 1 - Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções:
f(x, y, z)=\ln \left(\frac{1-\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}{1+\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\right)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y,z)=\ln\!\Bigl(\frac{1-\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}{1+\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\Bigr).
O conteúdo envolvido é regra da cadeia em funções de várias variáveis. Vamos primeiro reescrever a função em termos de uma variável auxiliar e calcular sua derivada simples, depois usar a regra da cadeia para obter cada parcial.

Passo 2

Defina
r = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}},
para que
f(x,y,z)=\ln\!\Bigl(\frac{1-r}{1+r}\Bigr).
Calculamos a derivada de f em relação a r:
\frac{d}{dr}\ln\!\Bigl(\tfrac{1-r}{1+r}\Bigr) = \frac{d}{dr}\bigl[\ln(1-r)-\ln(1+r)\bigr] = -\frac{1}{1-r}-\frac{1}{1+r} = -\frac{2}{1-r^{2}}.

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia para cada variável. Como
\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x}{r},\quad \frac{\partial r}{\partial y}=\frac{y}{r},\quad \frac{\partial r}{\partial z}=\frac{z}{r},
temos
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{d f}{d r}\,\frac{\partial r}{\partial x} =-\frac{2}{1-r^{2}}\cdot\frac{x}{r} =-\frac{2x}{r\,(1-r^{2})},
\frac{\partial f}{\partial y} =-\frac{2}{1-r^{2}}\cdot\frac{y}{r} =-\frac{2y}{r\,(1-r^{2})},
\frac{\partial f}{\partial z} =-\frac{2}{1-r^{2}}\cdot\frac{z}{r} =-\frac{2z}{r\,(1-r^{2})}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x} =-\frac{2x}{r\,(1-r^{2})},\quad \frac{\partial f}{\partial y} =-\frac{2y}{r\,(1-r^{2})},\quad \frac{\partial f}{\partial z} =-\frac{2z}{r\,(1-r^{2})},
onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.

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