Questão 11. O tempo de incubação da COVID-19 para certa variante segue:
X \sim N(5.5,1.2)
Determine o percentil 90 \%.

Passo 1

O enunciado nos dá que o tempo de incubação X segue uma distribuição normal com parâmetros:
  • média \mu = 5,5 (dias),
  • variância \sigma^{2} = 1,2 (dias²).
O que a questão pede: determinar o percentil de 90\% da distribuição de X. Em outras palavras, encontrar o valor x_{0{,}90} tal que
P(X \le x_{0{,}90}) = 0{,}90.

Passo 2

O que é um percentil e como a gente pensa nele aqui.
  • Percentil de 90\% significa o valor que deixa abaixo de si 90\% das observações.
  • Para a distribuição normal (que é simétrica e bem conhecida), há uma relação simples entre o percentil de X e o percentil da normal padrão Z (aquela com média 0 e variância 1).
    Vou usar essa relação para calcular x_{0{,}90}.

Passo 3

Padronização — transformar X numa normal padrão Z.
A fórmula de padronização é
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde:
  • X é a variável original,
  • \mu é a média de X,
  • \sigma é o desvio padrão de X (a raiz quadrada da variância).
No nosso caso \mu=5,5 e \sigma=\sqrt{1,2}. A ideia: se queremos P(X\le x_{0{,}90})=0{,}90, isso equivale a
P\!\left(Z \le \frac{x_{0{,}90}-\mu}{\sigma}\right) = 0{,}90.
Logo o percentil de X verifica
\frac{x_{0{,}90}-\mu}{\sigma} = z_{0{,}90},
onde z_{0{,}90} é o 90\%-percentil da normal padrão.
Isolando x_{0{,}90} obtemos a fórmula prática:
x_{0{,}90} = \mu + z_{0{,}90}\,\sigma.

Passo 4

Como achar z_{0{,}90}.
  • z_{0{,}90} é tal que P(Z \le z_{0{,}90})=0{,}90.
  • Usualmente busca-se esse valor numa tabela da normal padrão ou usa-se uma calculadora/funcão inversa da normal. O valor padrão (conhecido) é
z_{0{,}90} \approx 1{,}2816.
(outra aproximação comum: 1{,}28155; vou usar 1{,}2816 para manter a clareza).

Passo 5

Calcular o desvio padrão \sigma.
A variância dada é \sigma^{2}=1,2, então
\sigma=\sqrt{1,2}\approx 1{,}095445.
(Usei a raiz quadrada; se estiver fazendo na prova com tabela ou calculadora, basta calcular \sqrt{1{,}2}.)

Passo 6

Aplicar a fórmula do percentil usando os números calculados.
Usando
x_{0{,}90} = \mu + z_{0{,}90}\,\sigma,
substituindo \mu=5,5, z_{0{,}90}\approx1{,}2816 e \sigma\approx1{,}095445:
x_{0{,}90} \approx 5,5 + 1{,}2816 \times 1{,}095445.
Agora multiplicando (mostrando a conta):
1{,}2816 \times 1{,}095445 \approx 1{,}40387.
Portanto
x_{0{,}90} \approx 5,5 + 1{,}40387 = 6{,}90387.
Arredondando de forma prática (por exemplo, duas ou três casas decimais), obtemos aproximadamente 6{,}904 dias.

Resposta

6{,}904 (dias)

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