Questão 11. O tempo de incubação da COVID-19 para certa variante segue:
Determine o percentil
.
Passo 1
O enunciado nos dá que o tempo de incubação
segue uma distribuição normal com parâmetros:
- média
(dias), - variância
(dias²).
O que a questão pede: determinar o percentil de
da distribuição de
. Em outras palavras, encontrar o valor
tal que
Passo 2
O que é um percentil e como a gente pensa nele aqui.
- Percentil de
significa o valor que deixa abaixo de si das observações. - Para a distribuição normal (que é simétrica e bem conhecida), há uma relação simples entre o percentil de
e o percentil da normal padrão (aquela com média e variância ).
Vou usar essa relação para calcular.
Passo 3
Padronização — transformar
numa normal padrão
.
A fórmula de padronização é
onde:
-
é a variável original, -
é a média de , -
é o desvio padrão de (a raiz quadrada da variância).
No nosso caso
e
. A ideia: se queremos
, isso equivale a
Logo o percentil de
verifica
onde
é o
-percentil da normal padrão.
Isolando
obtemos a fórmula prática:
Passo 4
Como achar
.
-
é tal que . - Usualmente busca-se esse valor numa tabela da normal padrão ou usa-se uma calculadora/funcão inversa da normal. O valor padrão (conhecido) é
(outra aproximação comum:
; vou usar
para manter a clareza).
Passo 5
Calcular o desvio padrão
.
A variância dada é
, então
(Usei a raiz quadrada; se estiver fazendo na prova com tabela ou calculadora, basta calcular
.)
Passo 6
Aplicar a fórmula do percentil usando os números calculados.
Usando
substituindo
,
e
:
Agora multiplicando (mostrando a conta):
Portanto
Arredondando de forma prática (por exemplo, duas ou três casas decimais), obtemos aproximadamente
dias.