O tempo de uso diário de telas entre adolescentes pode ser modelado por:
X \sim N(4.2,1.8)
Determine o percentil 90 \%.

Passo 1

O enunciado fornece a informação:
  • X\sim N(4,2,1,8). Ou seja, a variável aleatória X tem média \,4,2 e variância \,1,8 (assumindo a notação padrão N(\mu,\sigma^2)).
    O que é pedido:
  • Determinar o percentil de 90\% de X; isto é, encontrar o valor x_{0,90} tal que \,P(X \le x_{0,90}) = 0,90.

Passo 2

O que significa "percentil 90\%" na prática:
  • Queremos o número x_{0,90} que satisfaz \,P(X \le x_{0,90}) = 0,90.
  • Para uma normal, usamos a padronização para transformar X numa normal padrão Z\sim N(0,1). A padronização é
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde \mu é a média e \sigma o desvio-padrão.

Passo 3

Identificar parâmetros e calcular o desvio-padrão:
  • A média é \mu=4,2 (peguei do enunciado).
  • A variância é \sigma^2=1,8 (peguei do enunciado). Então o desvio-padrão é
\sigma=\sqrt{1,8}.
Vamos calcular \sqrt{1,8}. Aproximando,
\sigma=\sqrt{1,8}\approx 1,341640786.
(na prova pode usar tabela, calculadora ou memorizar algumas raízes; aqui fica esse valor aproximado).

Passo 4

Passar a condição do percentil para a normal padrão e obter o z-score associado a 0,90:
  • A condição \,P(X \le x_{0,90}) = 0,90 equivale a
P\!\Big(Z \le \frac{x_{0,90}-\mu}{\sigma}\Big)=0,90.
  • O quantil correspondente da normal padrão é denotado por z_{0,90}, tal que P(Z\le z_{0,90})=0,90.
  • Pelo uso de tabela da normal padrão ou função inversa de distribuição, tem-se
z_{0,90}\approx 1,281551567.
(na prática de prova: tabela dá z\approx1,28 com P\approx0,8997; se precisar de mais precisão use a inversa da normal para obter 1,2816 aproximadamente.)

Passo 5

Resolver para x_{0,90}:
  • Da relação \dfrac{x_{0,90}-\mu}{\sigma}=z_{0,90} obtemos
x_{0,90}=\mu+\sigma z_{0,90}.
  • Substituindo os valores:
x_{0,90}=4,2+\big(\sqrt{1,8}\big)\cdot 1,281551567.
  • Calculando o produto (mostrando os números usados):
\sqrt{1,8}\approx 1,341640786,\qquad z_{0,90}\approx 1,281551567,
\sqrt{1,8}\cdot z_{0,90}\approx 1,341640786\times 1,281551567 \approx 1,719381853.
  • Portanto
x_{0,90}\approx 4,2+1,719381853 \approx 5,919381853.
Arredondando de forma prática (duas casas decimais) fica 5,92 horas.

Passo 6

Interpretação final e dica para a prova:
  • O percentil de 90\% é aproximadamente 5,92 horas: isso significa que cerca de 90\% dos adolescentes têm tempo diário de uso de telas menor ou igual a \,5,92 horas.
  • Dica rápida: se na sua prova a notação N(\mu,\sigma) for usada (segunda entrada sendo desvio-padrão), repare nisso; aqui usei a convenção padrão N(\mu,\sigma^2). Para calcular rápido sem muita precisão na tabela: use z_{0,90}\approx1,28 e \sigma\approx1,34, e obtém aproximadamente o mesmo resultado.

Resposta

x_{0,90}\approx 5,92\\ \text{horas}

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