As perguntas são:
a. Determine uma base de W (assumindo que W é o subespaço gerado por essas quatro matrizes).
b. O vetor \left(\begin{array}{cc}2 & 2 \\\\ 1 & 0\end{array}\right) pertence a W?
Eu listei explicitamente as matrizes e as duas perguntas; a partir daqui vamos trabalhar para responder cada uma passo a passo.
Passo 2
Como vamos manipular combinações lineares e dependência entre matrizes 2\times2, uma ideia prática é transformar cada matriz numa “lista” de quatro entradas (um vetor em \mathbb{R}^4). Isso preserva somas e multiplicações escalares: se \mathsf{M}\mapsto v e \mathsf{N}\mapsto w, então a\mathsf{M}+b\mathsf{N}\mapsto av+bw. Vou usar a ordem “linha por linha”: transformar
\begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \end{pmatrix}\longmapsto (a,b,c,d).
Explico: isso facilita verificar independência linear e resolver sistemas usando eliminação de Gauss — procedimento padrão para encontrar uma base a partir de um conjunto gerador.
Passo 3
Converto as quatro matrizes para vetores em \mathbb{R}^4 pela ordem indicada:
Agora o problema de encontrar uma base de W é encontrar um subconjunto linearmente independente desses vetores que gere o subespaço gerado por todos os quatro.
Passo 4
Formo a matriz cujas colunas são v_1,v_2,v_3,v_4. Isso é útil porque colunas com pivôs correspondem a vetores independentes.
Interpretação do escalonamento: há pivôs nas colunas 1,2,3. Isso significa que v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes e v_4 é combinação linear das três primeiras (coluna 4 é coluna dependente). Logo a dimensão do subespaço gerado é 3 e uma base formada por vetores do conjunto inicial é \{v_1,v_2,v_3\}, ou, em termos das matrizes originais, \{\mathsf{M}_1,\mathsf{M}_2,\mathsf{M}_3\}.
Também podemos obter explicitamente a relação que expressa \mathsf{M}_4 em função das outras. Queremos a,b,c tais que
a v_1 + b v_2 + c v_3 = v_4.
Das operações e da forma escalonada ou resolvendo as equações coordenada a coordenada, obtemos a=1, b=-1, c=0. Portanto
\mathsf{M}_4 = \mathsf{M}_1 - \mathsf{M}_2.
Isso confirma que a coluna 4 é dependente.
Passo 7
Agora a letra (b): verificar se \mathsf{B}=\begin{pmatrix}2&2\\\ 1&0\end{pmatrix}\) pertence a \(W\). Converto \(\mathsf{B}\) para vetor
\[v_B=(2,2,1,0).
Precisamos saber se existe combinação x_1\mathsf{M}_1+x_2\mathsf{M}_2+x_3\mathsf{M}_3=v_B. Em coordenadas, resolve-se o sistema
R_3\leftarrow \tfrac{1}{2}R_3 torna R_3=(0,0,1\,|\,3/2).
R_4\leftarrow R_4+3R_3 dá R_4=(0,0,0\,|\,1/2).
Chegamos a uma linha 0x_1+0x_2+0x_3 = \tfrac{1}{2}, ou seja 0=\tfrac{1}{2}, que é uma contradição. Portanto o sistema é inconsistente e não existe combinação linear que produza v_B.