Questão 118) A dureza da água advinda de duas instalações de tratamento de água é investigada. O valor observado da dureza da água (em ppm) de uma amostra aleatória de torneiras é apresentado a seguir. Use
0,05 .
(a) Assuma que
. Existe evidência para suportar a declaração de que as duas instalações fornecem água com durezas diferentes?
(b) Encontre o valor p-valor para o teste realizado no item (a) e compare os resultados.
Instalação 1:
Instalação 2: 57 59 59 60 60 61 61 62 62 65 66 66 68 69
(a) Assuma que
(b) Encontre o valor p-valor para o teste realizado no item (a) e compare os resultados.
Instalação 2: 57 59 59 60 60 61 61 62 62 65 66 66 68 69
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados da amostra da Instalação 1 (em ppm):
. Então o tamanho amostral é . - Dados da amostra da Instalação 2 (em ppm):
. Então o tamanho amostral é . - Nível de significância:
.
O enunciado pede:
(a) Assumindo , testar se há evidência de que as duas instalações fornecem água com durezas diferentes (teste ao nível
).
(b) Calcular o -valor do teste do item (a) e comparar com
.
(a) Assumindo
(b) Calcular o
Passo 2
Formular o teste e explicar a ideia do método (t de Student com variâncias assumidas iguais, passo a passo didático).
- Hipóteses (teste bicaudal; queremos saber se as médias são diferentes):
- Como foi dada a condição
, usamos o teste t de duas amostras com variância comum estimada (variância agrupada). A estatística de teste é
onde
é a variância agrupada:
e
,
são as variâncias amostrais (com denominador
). Os graus de liberdade são
.
Regra de decisão: para nível
e teste bicaudal, rejeita-se
se
. Alternativamente, compara-se o
-valor com
.
Passo 3
Calcular médias, somas e variâncias amostrais passo a passo (explico como calcular para você conseguir reproduzir na prova).
- Soma e média da Instalação 1:
Explicação: some todas as observações e divida por
.
- Soma e média da Instalação 2:
- Soma dos quadrados para cada amostra (útil para variância):
- Variância amostral (fórmula prática): para cada amostra
Aplicando:
Instalação 1:
logo
e
.
Instalação 2:
logo
e
.
Dica prática: calcule
e
para usar essa fórmula sem calcular desvios individuais na prova, é mais rápido.
Passo 4
Calcular a variância agrupada
e o desvio padrão agrupado
.
- Fórmula:
Substituindo os números:
Soma:
Graus de liberdade combinados
. Assim
e
Explicação:
é uma média ponderada das variâncias amostrais, ponderando pelos
de cada amostra; é a melhor estimativa comum da variância quando assumimos
.
Passo 5
Calcular a estatística
usando a fórmula e interpretar numericamente.
- Fórmula novamente:
Substituindo os valores:
Calcular o fator de normalização:
Multiplicando por
:
Finalmente
Interpretação: a estatística
observada é aproximadamente
. Para teste bicaudal consideramos
.
Passo 6
Determinar o valor crítico e tomar a decisão do teste.
- Graus de liberdade:
. - Valor crítico para teste bicaudal com
: . Pela tabela de Student, (aproximadamente ).
Regra: rejeitar
se
.
Como
, não rejeitamos
ao nível
.
Conclusão prática: com suposição de variâncias iguais, não há evidência suficiente ao nível de
para afirmar que as durezas médias das duas instalações são diferentes.
Passo 7
Calcular o
-valor e comparar com
(explicando como obter
-valor).
- O
-valor para um teste bicaudal é
onde
é uma variável t com
graus de liberdade.
- Com
e , consultando tabela t ou aproximando pela interpolação, obtemos
portanto
Explicação prática: em tabelas convencionais costuma-se ler probabilidades unilaterais; para
e
a cauda superior tem probabilidade próxima de
, então a probabilidade bicaudal (duas caudas) é aproximadamente
.
- Comparação com
: , logo não rejeitamos . Isso confirma a decisão feita pelo critério do valor crítico.
Resposta
(a) Não rejeita-se
; não há evidência, ao nível
, de que as durezas médias sejam diferentes.
(b) (como
, a conclusão é a mesma: não rejeita-se
).
(b)