Questão 118) A dureza da água advinda de duas instalações de tratamento de água é investigada. O valor observado da dureza da água (em ppm) de uma amostra aleatória de torneiras é apresentado a seguir. Use \alpha= 0,05 .
(a) Assuma que \sigma 1=\sigma 2. Existe evidência para suportar a declaração de que as duas instalações fornecem água com durezas diferentes?
(b) Encontre o valor p-valor para o teste realizado no item (a) e compare os resultados.
Instalação 1: 55 \quad 5758 \quad 58 \quad 59 \quad 60 \quad 60 \quad 61 \quad 62 \quad 62 \quad 63 \quad 66
Instalação 2: 57 59 59 60 60 61 61 62 62 65 66 66 68 69

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados da amostra da Instalação 1 (em ppm): 55,\;57,\;58,\;59,\;60,\;60,\;61,\;62,\;62,\;63,\;66. Então o tamanho amostral é n_1=11.
  • Dados da amostra da Instalação 2 (em ppm): 57,\;59,\;59,\;60,\;60,\;61,\;61,\;62,\;62,\;65,\;66,\;66,\;68,\;69. Então o tamanho amostral é n_2=14.
  • Nível de significância: \alpha=0,05.
O enunciado pede:
(a) Assumindo \sigma_1=\sigma_2, testar se há evidência de que as duas instalações fornecem água com durezas diferentes (teste ao nível \alpha=0,05).
(b) Calcular o p-valor do teste do item (a) e comparar com \alpha.

Passo 2

Formular o teste e explicar a ideia do método (t de Student com variâncias assumidas iguais, passo a passo didático).
  • Hipóteses (teste bicaudal; queremos saber se as médias são diferentes):
H_0:\\ \mu_1=\mu_2 \qquad\text{versus}\qquad H_1:\\ \mu_1\neq\mu_2.
  • Como foi dada a condição \sigma_1=\sigma_2, usamos o teste t de duas amostras com variância comum estimada (variância agrupada). A estatística de teste é
t=\frac{\bar{X}_1-\bar{X}_2}{s_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}}},
onde s_p^2 é a variância agrupada:
s_p^2=\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2},
e s_1^2, s_2^2 são as variâncias amostrais (com denominador n-1). Os graus de liberdade são n_1+n_2-2.
Regra de decisão: para nível \alpha=0,05 e teste bicaudal, rejeita-se H_0 se |t|>t_{1-\alpha/2,\;n_1+n_2-2}. Alternativamente, compara-se o p-valor com \alpha.

Passo 3

Calcular médias, somas e variâncias amostrais passo a passo (explico como calcular para você conseguir reproduzir na prova).
  • Soma e média da Instalação 1:
\sum_{i=1}^{11} x_{1i}=663, \qquad \bar{X}_1=\frac{663}{11}=60{,}272727\ldots
Explicação: some todas as observações e divida por n_1.
  • Soma e média da Instalação 2:
\sum_{i=1}^{14} x_{2i}=875, \qquad \bar{X}_2=\frac{875}{14}=62{,}5.
  • Soma dos quadrados para cada amostra (útil para variância):
\sum x_{1i}^2=40053,\qquad \sum x_{2i}^2=54863.
  • Variância amostral (fórmula prática): para cada amostra
s^2=\frac{\sum x_i^2-\dfrac{(\sum x_i)^2}{n}}{n-1}.
Aplicando:
Instalação 1:
s_1^2=\frac{40053-\dfrac{663^2}{11}}{11-1} =\frac{40053-39960{,}818181\ldots}{10} =\frac{92{,}181818\ldots}{10}=9{,}2181818\ldots
logo s_1^2\approx9{,}21818 e s_1\approx3{,}036.
Instalação 2:
s_2^2=\frac{54863-\dfrac{875^2}{14}}{14-1} =\frac{54863-54687{,}5}{13} =\frac{175{,}5}{13}=13{,}5
logo s_2^2=13{,}5 e s_2\approx3{,}674.
Dica prática: calcule \sum x_i e \sum x_i^2 para usar essa fórmula sem calcular desvios individuais na prova, é mais rápido.

Passo 4

Calcular a variância agrupada s_p^2 e o desvio padrão agrupado s_p.
  • Fórmula:
s_p^2=\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}.
Substituindo os números:
(n_1-1)s_1^2=10\times9{,}2181818\ldots=92{,}181818\ldots,
(n_2-1)s_2^2=13\times13{,}5=175{,}5.
Soma:
92{,}181818\ldots+175{,}5=267{,}681818\ldots
Graus de liberdade combinados =11+14-2=23. Assim
s_p^2=\frac{267{,}681818\ldots}{23}=11{,}6409634\ldots
e
s_p\approx\sqrt{11{,}6409634\ldots}\approx3{,}412.
Explicação: s_p^2 é uma média ponderada das variâncias amostrais, ponderando pelos n-1 de cada amostra; é a melhor estimativa comum da variância quando assumimos \sigma_1=\sigma_2.

Passo 5

Calcular a estatística t usando a fórmula e interpretar numericamente.
  • Fórmula novamente:
t=\frac{\bar{X}_1-\bar{X}_2}{s_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}}}.
Substituindo os valores:
\bar{X}_1-\bar{X}_2=60{,}272727\ldots-62{,}5=-2{,}2272727\ldots
Calcular o fator de normalização:
\sqrt{\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}}=\sqrt{\dfrac{1}{11}+\dfrac{1}{14}} =\sqrt{0{,}09090909\ldots+0{,}071428571\ldots} =\sqrt{0{,}16233766\ldots}\approx0{,}402912.
Multiplicando por s_p:
s_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}}\approx3{,}412\times0{,}402912\approx1{,}37474.
Finalmente
t\approx\frac{-2{,}2272727}{1{,}37474}\approx-1{,}62.
Interpretação: a estatística t observada é aproximadamente t_{\text{obs}}=-1{,}62. Para teste bicaudal consideramos |t_{\text{obs}}|\approx1{,}62.

Passo 6

Determinar o valor crítico e tomar a decisão do teste.
  • Graus de liberdade: \nu=n_1+n_2-2=23.
  • Valor crítico para teste bicaudal com \alpha=0,05: t_{1-\alpha/2,\;23}=t_{0{,}975,\;23}. Pela tabela de Student, t_{0{,}975,\;23}\approx2{,}069 (aproximadamente 2{,}0687\ldots).
Regra: rejeitar H_0 se |t_{\text{obs}}|>2{,}069.
Como |t_{\text{obs}}|\approx1{,}62<2{,}069, não rejeitamos H_0 ao nível \alpha=0{,}05.
Conclusão prática: com suposição de variâncias iguais, não há evidência suficiente ao nível de 5\% para afirmar que as durezas médias das duas instalações são diferentes.

Passo 7

Calcular o p-valor e comparar com \alpha (explicando como obter p-valor).
  • O p-valor para um teste bicaudal é
p\text{-valor}=2\cdot P\big(T_{\nu}>|t_{\text{obs}}|\big),
onde T_{\nu} é uma variável t com \nu=23 graus de liberdade.
  • Com |t_{\text{obs}}|\approx1{,}62 e \nu=23, consultando tabela t ou aproximando pela interpolação, obtemos
P\big(T_{23}>1{,}62\big)\approx0{,}062,
portanto
p\text{-valor}\approx2\times0{,}062=0{,}124.
Explicação prática: em tabelas convencionais costuma-se ler probabilidades unilaterais; para t=1{,}62 e \nu=23 a cauda superior tem probabilidade próxima de 0{,}062, então a probabilidade bicaudal (duas caudas) é aproximadamente 0{,}124.
  • Comparação com \alpha: p\text{-valor}\approx0{,}124>0{,}05, logo não rejeitamos H_0. Isso confirma a decisão feita pelo critério do valor crítico.

Resposta

(a) Não rejeita-se H_0; não há evidência, ao nível \alpha=0{,}05, de que as durezas médias sejam diferentes.
(b) p\text{-valor}\approx0{,}124 (como p>0{,}05, a conclusão é a mesma: não rejeita-se H_0).

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