Questão 12 - Aplicação Quantitativa e Conceitual

Uma bola de massa 0,4 \mathrm{~kg} estava parada. Um jogador aplica sobre ela uma força média de 50 N durante 0,1 s.
a) Calcule o impulso aplicado na bola.
b) Qual a velocidade adquirida pela bola?
c) Explique como o impulso e a variação do momento linear se relacionam.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido (peguei todos os números do enunciado).
  • Massa da bola: m=0,4\\ \mathrm{kg}.
  • A bola estava parada inicialmente: velocidade inicial v_0=0.
  • Força média aplicada: F_{\text{m}}=50\\ \mathrm{N}.
  • Duração da força: \Delta t=0,1\\ \mathrm{s}.
O enunciado pede:
a) Calcular o impulso aplicado na bola.
b) Calcular a velocidade adquirida pela bola após a aplicação da força.
c) Explicar como o impulso e a variação do momento linear se relacionam.

Passo 2

Definição e cálculo do impulso (parte a).
  • Conceito: o impulso é a grandeza que mede o “empurrão” aplicado durante um intervalo de tempo. Em termos matemáticos, o impulso vetorial é a integral da força no tempo:
\vec J=\int_{t_0}^{t_1}\vec F(t)\,dt.
Aqui \vec J é o impulso (unidade \mathrm{N\cdot s}), \vec F(t) é a força em função do tempo (unidade \mathrm{N}), e t_1-t_0=\Delta t é o intervalo de aplicação da força (unidade \mathrm{s}).
  • Caso prático: o enunciado dá uma força média F_{\text{m}}. Para uma força média constante durante \Delta t vale
\vec J=\vec F_{\text{m}}\Delta t.
  • Aqui assumimos direção positiva ao longo da direção da força (sentido da velocidade final).
  • Substituindo os números (todos entre parênteses em SI):
J = F_{\text{m}}\Delta t = 50\\ \mathrm{N}\times 0,1\\ \mathrm{s}.
  • Cálculo:
J = 5\\ \mathrm{N\cdot s}.

Passo 3

Cálculo da velocidade adquirida (parte b).
  • Definição de momento linear (quantidade de movimento): para uma massa m com velocidade \vec v,
\vec p = m\vec v.
Unidade de \vec p é \mathrm{kg\cdot m/s}, que é equivalente a \mathrm{N\cdot s}.
  • Impulso-momento (teorema usado diretamente): o impulso aplicado provoca a variação do momento linear:
\vec J=\Delta\vec p=\vec p_{\text{final}}-\vec p_{\text{inicial}}.
  • Como a bola estava parada, \vec p_{\text{inicial}}=m\vec v_0=0. Logo \vec p_{\text{final}}=\vec J.
  • Portanto a velocidade final (na mesma direção da força) é
\vec v=\frac{\vec p_{\text{final}}}{m}=\frac{\vec J}{m}.
  • Substituindo valores escalares (direção já escolhida):
v=\frac{J}{m}=\frac{5\\ \mathrm{N\cdot s}}{0,4\\ \mathrm{kg}}.
  • Cálculo:
v=12,5\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Explicação conceitual e derivação do relacionamento impulso = variação do momento linear (parte c).
  • Começo por Newton: a segunda lei de Newton, na forma geral para quantidade de movimento, diz
\vec F(t)=\frac{d\vec p}{dt},
onde \vec p(t)=m\vec v(t) é o momento linear. Essa fórmula vale mesmo se \vec F variar no tempo.
  • Integrando ambos os lados entre t_0 e t_1:
\int_{t_0}^{t_1}\vec F(t)\,dt=\int_{t_0}^{t_1}\frac{d\vec p}{dt}\,dt=\Delta\vec p.
  • O lado esquerdo é exatamente o impulso \vec J. Conclusão: para qualquer força (constante ou variável),
\vec J=\Delta\vec p.
  • Interpretação física simples e uma dica de prova: o impulso mede a área sob a curva F versus t. Quanto maior a força ou maior o tempo de aplicação, maior a variação do momento linear. Unidades conferem: \mathrm{N\cdot s}=(\mathrm{kg\cdot m/s^2})\cdot\mathrm{s}=\mathrm{kg\cdot m/s}.
  • Observações úteis para prova:
    • Se a força for média ou constante use J=F_{\text{m}}\Delta t.
    • Se a força variar e for dada explicitamente, calcule J=\int F(t)\,dt.
    • Sempre acompanhe a direção (sinais): impulso e variação de momento são vetoriais e têm o mesmo sentido da força resultante.
    • Verifique unidades: resultado em \mathrm{N\cdot s} ou \mathrm{kg\cdot m/s}.

Resposta

a) J=5\\ \mathrm{N\cdot s}
b) v=12,5\\ \mathrm{m/s}
c) \; \vec J=\Delta\vec p

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