Questão 12: O aumento de pressão através de uma bomba \Delta P pode ser afetado pela densidade do fluido \rho, pela velocidade angular w, pelo diâmetro do impulsor D, pela taxa volumétrica Q e pela viscosidade do fluido \mu. Encontre os grupos adimensionais pertinentes, de modo que \Delta \mathrm{P}, \mathrm{Q} e \mu apareçam cada um em apenas um grupo.
Resposta: f_{1}=\frac{\Delta p}{\rho D^{2} W^{2}}, f_{2}=\frac{Q}{D^{3} W} f_{3}=\frac{\mu}{\rho D^{2} W}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar grupos adimensionais que relacionem o aumento de pressão \Delta P, a densidade do fluido \rho, a velocidade angular w, o diâmetro do impulsor D, a vazão volumétrica Q e a viscosidade \mu. O método é o Teorema de Buckingham Pi, pois temos 6 variáveis e 3 dimensões fundamentais M,L,T, logo teremos 6-3=3 grupos adimensionais.

Passo 2

Escolhemos como variáveis repetidas \rho, D e w, pois elas cobrem todas as dimensões M,L,T e não se repetem nos símbolos a combinar. Cada grupo adimensional terá a forma
\Pi = \text{(variável alvo)} \times \rho^{a} \, D^{b} \, w^{c}á
e determinamos a,b,c fazendo os expoentes de M,L,T iguais a zero.

Passo 3

Para \Pi_{1} com \Delta P: considere
\Pi_{1} = \Delta P \;\rho^{a}D^{b}w^{c}.
Dimensionalmente, \Delta P\sim M\,L^{-1}T^{-2}, \rho\sim M\,L^{-3}, D\sim L, w\sim T^{-1}.
Impondo equilíbrio de expoentes:
  1. M: 1 + a = 0 \implies a = -1,
  2. L: -1 -3a + b = 0 \implies -1 +3 + b = 0 \implies b = -2,
  3. T: -2 - c = 0 \implies c = -2.
    Logo
\Pi_{1} = \frac{\Delta P}{\rho\,D^{2}\,w^{2}}.

Passo 4

Para \Pi_{2} com Q: considere
\Pi_{2} = Q\;\rho^{a}D^{b}w^{c}.
Dimensionalmente, Q\sim L^{3}T^{-1}.
Equações:
  1. M: 0 + a = 0 \implies a=0,
  2. L: 3 -3a + b = 0 \implies 3 + b = 0 \implies b = -3,
  3. T: -1 - c = 0 \implies c = -1.
    Logo
\Pi_{2} = \frac{Q}{D^{3}\,w}.

Passo 5

Para \Pi_{3} com \mu: considere
\Pi_{3} = \mu\;\rho^{a}D^{b}w^{c}.
Dimensionalmente, \mu\sim M\,L^{-1}T^{-1}.
Equações:
  1. M: 1 + a = 0 \implies a=-1,
  2. L: -1 -3a + b = 0 \implies -1 +3 + b = 0 \implies b = -2,
  3. T: -1 - c = 0 \implies c = -1.
    Logo
\Pi_{3} = \frac{\mu}{\rho\,D^{2}\,w}.

Resposta

\displaystyle f_{1} = \frac{\Delta P}{\rho\,D^{2}\,w^{2}} \displaystyle f_{2} = \frac{Q}{D^{3}\,w} \displaystyle f_{3} = \frac{\mu}{\rho\,D^{2}\,w}

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