Para refrigerar uma casa de verão, sem utilizar um ciclo de refrigeração por convecção de vapor, ar é conduzido através de um tubo plástico, cuja condutividade térmica é de 0,15 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}. O tubo possui diâmetro interno de 0,15 \mathrm{~m} e diâmetro externo de 0,17 \mathrm{~m}. Este tubo é totalmente submerso em um corpo de água próximo à casa, onde a temperatura da água é constante de 17^{\circ} \mathrm{C}, e o coeficiente de transferência de calor por convecção entre a água e a parede externa do tubo é de 1500 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}. O ar entra no tubo com uma temperatura de 29^{\circ} \mathrm{C} e uma vazão mássica de 0,0296 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. Deseja-se que o ar saia do tubo com uma temperatura final de 21^{\circ} \mathrm{C}. Determinar qual é o comprimento de tubo necessário para atingir essa condição de resfriamento?
Dados para o Ar Atmosférico: \rho=1,184 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, \mathrm{c}_{\mathrm{p}}=1005 \mathrm{~J} / \mathrm{kg}, \mathrm{k}=0,026 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}, \mu=1,849 \times 10-5 \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2}, \operatorname{Pr}=0,71

Passo 1

O enunciado descreve um processo de resfriamento de ar forçado que escoa em um tubo plástico submerso em água mantida à temperatura constante \,17^\circ\mathrm{C}. Temos troca de calor por convecção interna (ar → parede), condução através da parede plástica e convecção externa (parede → água). Queremos o comprimento L do tubo para que o ar entre a 29^\circ\mathrm{C} e saia a 21^\circ\mathrm{C}. Vamos:
  1. Calcular o coeficiente convectivo interno h_i usando correlação de Dittus–Boelter.
  2. Calcular as resistências térmicas por unidade de comprimento e obter o coeficiente global por comprimento K.
  3. Montar o balanço de energia diferencial e integrar para achar L.

Passo 2

Calcular h_i para o ar em escoamento interno.
O caudal volumétrico é
\dot V = \frac{\dot m}{\rho} = \frac{0.0296}{1.184} \approx 0.0250\;\mathrm{m^3/s}.
A velocidade média no tubo de diâmetro interno D_i=0.15,m é
v = \frac{\dot V}{\pi D_i^2/4} = \frac{0.0250}{\pi (0.15)^2/4} \approx 1.41\;\mathrm{m/s}.
O número de Reynolds é
\mathit{Re} = \frac{\rho\,v\,D_i}{\mu} = \frac{1.184\cdot1.41\cdot0.15}{1.849\times10^{-5}} \approx1.36\times10^4,
logo escoamento turbulento. Pela correlação de Dittus–Boelter
\mathit{Nu}_i =0.023\,\mathit{Re}^{0.8}\,\mathrm{Pr}^{0.4} \approx0.023\,(1.36\times10^4)^{0.8}\,(0.71)^{0.4} \approx40.5.
Assim
h_i = \frac{\mathit{Nu}_i\,k_{\rm ar}}{D_i} = \frac{40.5\cdot0.026}{0.15} \approx7.02\;\mathrm{W/m^2K}.

Passo 3

Determinar as resistências térmicas por metro de tubo e o coeficiente global K.
Área molhada interna por comprimento: A_i=\pi D_i.
Área externa por comprimento: A_o=\pi D_o com D_o=0.17,m.
As resistências por metro são
R_i=\frac{1}{h_i\,A_i} =\frac{1}{7.02\,(\pi\cdot0.15)} \approx0.303\;\mathrm{K/(W\cdot m)},
R_{\rm cond} =\frac{\ln(D_o/D_i)}{2\pi\,k_{\rm plast}} =\frac{\ln(0.17/0.15)}{2\pi\cdot0.15} \approx0.133\;\mathrm{K/(W\cdot m)},
R_o=\frac{1}{h_o\,A_o} =\frac{1}{1500\,(\pi\cdot0.17)} \approx0.00125\;\mathrm{K/(W\cdot m)}.
Somando, a resistência total por metro é
R_{\rm tot} =R_i+R_{\rm cond}+R_o \approx0.303+0.133+0.00125 =0.4373\;\mathrm{K/(W\cdot m)}.
O coeficiente global por metro de tubo é
K = \frac{1}{R_{\rm tot}} \approx2.286\;\mathrm{W/(m\cdot K)}.

Passo 4

Balanço de energia em um elemento dx: a taxa de calor cedido ao tubo é
\dot q = K\,(T(x)-T_w)\,dx,
e a variação de energia do ar é
-\dot m\,c_p\,dT = \dot q.
Logo
\frac{dT}{T-T_w} =-\frac{K}{\dot m\,c_p}\,dx.
Integrando de x=0 ( T=T_{\rm in}) até x=L T=T_{\rm out}
\ln\frac{T_{\rm out}-T_w}{T_{\rm in}-T_w} =-\frac{K\,L}{\dot m\,c_p},
portanto
L =-\frac{\dot m\,c_p}{K} \ln\frac{T_{\rm out}-T_w}{T_{\rm in}-T_w}.

Passo 5

Substituindo \dot m=0.0296,kg/s, c_p=1005,J/k g\cdot K, K=2.286,W/( m\cdot K), T_w=17^\circ\mathrm C, T_{\rm in}=29^\circ\mathrm C, T_{\rm out}=21^\circ\mathrm C:
\dot m\,c_p=0.0296\cdot1005\approx29.76\;\mathrm{W/K}, \quad \ln\frac{21-17}{29-17}=\ln\frac{4}{12}=\ln(0.3333)\approx-1.0986,
L =-\frac{29.76}{2.286}\,(-1.0986) \approx14.3\;\mathrm{m}.

Resposta

O comprimento necessário do tubo é aproximadamente 14{,}3,m.

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