Questão 12. Calcule
\int_{0}^{\pi / 2} \theta^{3} \cos \theta d \theta

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral
\int_{0}^{\pi/2} \theta^{3} \cos\theta \,d\theta
para o qual vamos usar o método de integração por partes de forma repetida.

Passo 2

Aplicando integração por partes com
\displaystyle u=\theta^{3} e \displaystyle dv=\cos\theta\,d\theta, temos \displaystyle du=3\theta^{2}\,d\theta e \displaystyle v=\sin\theta. Logo,
\int_{0}^{\pi/2}\theta^{3}\cos\theta\,d\theta =\Bigl[\theta^{3}\sin\theta\Bigr]_{0}^{\pi/2} -3\int_{0}^{\pi/2}\theta^{2}\sin\theta\,d\theta.

Passo 3

Avaliaremos primeiro o termo de borda:
\Bigl[\theta^{3}\sin\theta\Bigr]_{0}^{\pi/2} =\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr)^{3}\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) -0 =\frac{\pi^{3}}{8}.
Chamemos
K = \int_{0}^{\pi/2}\theta^{2}\sin\theta\,d\theta,
então a integral original fica
\int_{0}^{\pi/2}\theta^{3}\cos\theta\,d\theta =\frac{\pi^{3}}{8}-3K.

Passo 4

Para calcular K, use integração por partes com
\displaystyle u=\theta^{2} e \displaystyle dv=\sin\theta\,d\theta. Assim \displaystyle du=2\theta\,d\theta e \displaystyle v=-\cos\theta, resultando em
K =\Bigl[-\theta^{2}\cos\theta\Bigr]_{0}^{\pi/2} +2\int_{0}^{\pi/2}\theta\cos\theta\,d\theta.
O termo de borda é nulo, pois em \theta=0 e \theta=\pi/2 temos \theta^{2}\cos\theta=0. Logo
K = 2L, \quad L = \int_{0}^{\pi/2}\theta\cos\theta\,d\theta.

Passo 5

Calculemos L por partes com
\displaystyle u=\theta e \displaystyle dv=\cos\theta\,d\theta. Assim \displaystyle du=d\theta e \displaystyle v=\sin\theta, portanto
L =\Bigl[\theta\sin\theta\Bigr]_{0}^{\pi/2} -\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta =\frac{\pi}{2}-1.
Logo
K = 2\Bigl(\frac{\pi}{2}-1\Bigr) =\pi-2.

Passo 6

Substituindo K em
\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\theta^{3}\cos\theta\,d\theta =\frac{\pi^{3}}{8}-3K, obtemos
\int_{0}^{\pi/2}\theta^{3}\cos\theta\,d\theta =\frac{\pi^{3}}{8} -3\bigl(\pi-2\bigr) =\frac{\pi^{3}}{8}-3\pi+6.

Resposta

\int_{0}^{\pi/2}\theta^{3}\cos\theta\,d\theta =\frac{\pi^{3}}{8}-3\pi+6.

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