Questão 12. Calcule
\int e^{-t} \cos (2 t) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva
\int e^{-t}\cos(2t)\,dt.
Este é um problema de integração por partes, em que vamos aplicar o método duas vezes para obter uma relação que nos permita isolar a integral buscada.

Passo 2

Defina
I=\int e^{-t}\cos(2t)\,dt.
Aplique integração por partes com
u=\cos(2t),\quad dv=e^{-t}dt.
Então
du=-2\sin(2t)\,dt,\quad v=-e^{-t},
e
I =uv-\int v\,du =-e^{-t}\cos(2t) -\int\bigl(-e^{-t}\bigr)\bigl(-2\sin(2t)\bigr)\,dt =-e^{-t}\cos(2t)-2\int e^{-t}\sin(2t)\,dt.
Chame
J=\int e^{-t}\sin(2t)\,dt,
ficando
I=-e^{-t}\cos(2t)-2J.

Passo 3

Agora calcule
J=\int e^{-t}\sin(2t)\,dt
por partes, escolhendo
u=\sin(2t),\quad dv=e^{-t}dt.
Temos
du=2\cos(2t)\,dt,\quad v=-e^{-t},
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J =uv-\int v\,du =-e^{-t}\sin(2t) -\int\bigl(-e^{-t}\bigr)\bigl(2\cos(2t)\bigr)\,dt =-e^{-t}\sin(2t)+2\int e^{-t}\cos(2t)\,dt.
Reconheça que \int e^{-t}\cos(2t)\,dt=I, portanto
J=-e^{-t}\sin(2t)+2I.

Passo 4

Volte à expressão de I:
I=-e^{-t}\cos(2t)-2J =-e^{-t}\cos(2t)-2\bigl(-e^{-t}\sin(2t)+2I\bigr).
Distribuindo:
I=-e^{-t}\cos(2t)+2e^{-t}\sin(2t)-4I.
Some 4I aos dois lados:
5I=e^{-t}\bigl(2\sin(2t)-\cos(2t)\bigr).

Passo 5

Isole I e acrescente a constante de integração C:
I =\int e^{-t}\cos(2t)\,dt =\frac{e^{-t}}{5}\bigl(2\sin(2t)-\cos(2t)\bigr)+C.

Resposta

\int e^{-t}\cos(2t)\,dt =\frac{e^{-t}}{5}\bigl(2\sin(2t)-\cos(2t)\bigr)+C.

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