Questão 12) Em um compósito de náilon 6,6 reforçado com fibras de carbono contínuas e alinhadas, as fibras devem suportar 97% de uma carga aplicada na direção longitudinal.
Módulo de
Elasticidade
[GPa(psi)]
Limite de
Resistência à Tração
[MPa (psi)]
Fibra de carbono 260\left(37 \times 10^{6}\right) 4000(580.000)
Náilon 6,6 2,8\left(4,0 \times 10^{5}\right) 76(11.000)
(A) Considerando os dados fornecidos, determine a fração volumétrica de fibras necessária.
(B) Qual será o limite de resistência à tração desse compósito? Considere que a tensão na matriz no momento da falha da fibra seja de 50 MPa .

Passo 1

O enunciado trata de um compósito unidirecional com fibras de carbono (propriedades E_f=260 GPa, \sigma_f=4000 MPa) embebidas numa matriz de náilon 6,6 ( E_m=2{,}8 GPa). Queremos (A) a fração volumétrica de fibras V_f tal que as fibras suportem 97\% da carga longitudinal e (B) a resistência à tração do compósito quando a fibra falha, sabendo que nessa condição a tensão na matriz é 50 MPa.

Passo 2

Para (A) usamos o equilíbrio de tensões segundo o modelo da mistura para módulo efetivo: a fração de carga nas fibras é
\frac{E_f\,V_f}{E_f\,V_f + E_m\,(1 - V_f)} = 0{,}97.
Substituindo E_f=260 GPa e E_m=2{,}8 GPa, resolvemos para V_f.

Passo 3

Escrevendo a equação numérica:
\frac{260\,V_f}{260\,V_f + 2{,}8\,(1 - V_f)} = 0{,}97
260\,V_f = 0{,}97\bigl(260\,V_f + 2{,}8 - 2{,}8\,V_f\bigr)
260\,V_f = 249{,}484\,V_f + 2{,}716 \quad\Longrightarrow\quad 10{,}516\,V_f = 2{,}716 \quad\Longrightarrow\quad V_f \approx 0{,}258.

Passo 4

Para (B), na falha da fibra a tensão na matriz é \sigma_m=50 MPa e a fibra atinge \sigma_f=4000 MPa. Pelo modelo de resistência longitudinal usamos a regra de mistura de tensões:
\sigma_c = \sigma_f\,V_f + \sigma_m\,(1 - V_f).

Passo 5

Substituindo V_f\approx0{,}258, \sigma_f=4000 MPa e \sigma_m=50 MPa,
\sigma_c = 4000 \times 0{,}258 + 50 \times (1 - 0{,}258) \approx 1032{,}8 + 37{,}1 = 1069{,}9\\ \text{MPa}.

Resposta

(A) V_f \approx 0{,}258 (25,8 % do volume)
(B) \sigma_c \approx 1070 MPa

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