Questão 12 -

Considere a interferência de dois MHS perpendiculares de mesma frequência angular cujos movimentos ao longo dos eixos x e y são dados por: x=A \cos \omega t e y=B \cos (\omega t+\Phi). Sobre a trajetória da partícula são feitas as afirmações:
I. uma reta, se a diferença de fase for \mathrm{n} \pi, onde \mathrm{n}=0,1,2,3 \ldots.
II. uma circunferência, se as amplitudes forem iguais e a diferença de fase for de ( k \pi / 2 ), onde k=1,3,5 \ldots.
III. uma elipse, se A \neq B e a diferença de fase for arbitrária porém, diferente de \mathrm{k} \pi (para \mathrm{k}=0,1,2,3, \ldots
Sobre as afirmações podemos dizer que
a) somente I está correta.
b) somente II está correta.
c) somente II e III estão corretas.
d) somente I e II estão corretas.
e) estão corretas I, II e III.

Passo 1

O enunciado trata de duas oscilações harmônicas simples perpendiculares de mesma frequência angular \omega, dadas por
x = A \cos(\omega t),
y = B \cos(\omega t + \Phi).
O conteúdo é o estudo das curvas de Lissajous e queremos verificar em que condições a trajetória é reta, circunferência ou elipse.

Passo 2

Para \Phi = n\pi com n=0,1,2,\dots vale
y = B \cos(\omega t + n\pi) = B(-1)^n \cos(\omega t).
Logo
y = \bigl((-1)^n\frac{B}{A}\bigr)\,x,
que é a equação de uma reta. Portanto a afirmação I está correta.

Passo 3

Se A = B e \Phi = k\frac{\pi}{2} com k ímpar, por exemplo \Phi = \pi/2, então
x = A\cos(\omega t), \quad y = A\cos\Bigl(\omega t + \tfrac{\pi}{2}\Bigr) = -A\sin(\omega t).
Daí
x^2 + y^2 = A^2\cos^2(\omega t) + A^2\sin^2(\omega t) = A^2,
que é uma circunferência de raio A. Logo a afirmação II está correta.

Passo 4

Para A\neq B e \Phi\neq k\pi, eliminando t obtemos
\frac{x}{A} = \cos(\omega t), \quad \frac{y}{B} = \cos(\omega t + \Phi),
e a relação
\Bigl(\frac{x}{A}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{y}{B}\Bigr)^2 -2\frac{x}{A}\frac{y}{B}\cos\Phi = \sin^2\Phi,
que define uma elipse sempre que \sin\Phi\neq0. Assim a afirmação III está correta.

Passo 5

Todas as três afirmações I, II e III estão corretas.

Resposta

e) estão corretas I, II e III.

Exercícios relacionados