Questão 12 - Construa os gráficos das seguintes funções exponenciais, fazendo uso do software Geogebra.
y=-2 x^{-x}

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
y = -2\,x^{-x}
usando o GeoGebra. O conteúdo aqui é estudar funções do tipo x^{-x} (que usam logaritmo para definir o expoente variável), identificar domínio, assíntotas e comportamento, calcular derivada para achar extremos e então inserir tudo no GeoGebra.

Passo 2

Determinar o domínio e continuidade de y=-2\,x^{-x}. Note que
x^{-x} = e^{-x\ln x}
só faz sentido quando \ln x existe, isto é, para x>0. Logo o domínio é
(0,\infty),
e y é contínua em todo esse intervalo.

Passo 3

Estudar os limites nos extremos do domínio para achar assíntotas horizontais.
  1. Quando x\to0^+, temos x\ln x\to0, logo
x^{-x}=e^{-x\ln x}\to e^0 = 1
e
y = -2\,x^{-x}\to -2.
Assim há assíntota horizontal y=-2 à esquerda.
2. Quando x\to+\infty, x\ln x\to+\infty, então
x^{-x}=e^{-x\ln x}\to0
e
y=-2\,x^{-x}\to0.
Portanto existe assíntota horizontal y=0 à direita.

Passo 4

Calcular a derivada para identificar monotonia e extremos. Seja f(x)=x^{-x}. Então
\ln f(x) = -x\ln x,
de onde
\frac{f'(x)}{f(x)} = -\ln x - 1 \quad\Longrightarrow\quad f'(x) = f(x)\bigl(-\ln x -1\bigr).
Como y=-2f(x), segue
y' = -2f'(x) = 2\,x^{-x}\,(\ln x +1).
O sinal de y' muda em \ln x +1=0, i.e.\ x=e^{-1}. Para 0<x<e^{-1} tem y'<0 (decrescente) e para x>e^{-1} y'>0 (crescente). Em x=e^{-1} ocorre mínimo local, cujo valor é
y\bigl(e^{-1}\bigr) = -2\,(e^{-1})^{-\,e^{-1}} = -2\,e^{e^{-1}} \approx -2{,}89.

Passo 5

Esboçar no GeoGebra:
  1. Abra o GeoGebra e, na entrada de funções, digite
f(x) = -2\,x^{-x}.
  1. Ajuste a vista para x>0, por exemplo 0<x<5 e -4<y<1.
  2. Verifique no gráfico as assíntotas horizontais traçando as retas y=-2 e y=0.
  3. Marque o ponto crítico \bigl(e^{-1},-2e^{e^{-1}}\bigr)\approx(0{,}3679;-2{,}89).
    Pronto: você terá o gráfico de y=-2\,x^{-x}, decrescente até x=e^{-1} com mínimo em -2e^{e^{-1}}, depois crescente, aproximando-se de 0.

Resposta

Veja no GeoGebra o gráfico de y=-2\,x^{-x} com:
  • Domínio (0,\infty).
  • Assíntotas horizontais y=-2 (em x\to0^+) e y=0 (em x\to\infty).
  • Mínimo em x=e^{-1}\approx0{,}3679, de valor y=-2e^{e^{-1}}\approx-2{,}89.
  • Função negativa, decrescente em (0,e^{-1}) e crescente em (e^{-1},\infty).

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