Questão 12

Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Uma empresa tem n vendedores que, com exceção de dois deles, podem ser promovidos a duas vagas de gerente de vendas. Se há 105 possibilidades de se efetuar essa promoção, então o número n é igual a:
Resposta: \square 17

Passo 1

O enunciado diz que há n vendedores e queremos escolher 2 deles para gerentes, mas há dois vendedores que não podem ser promovidos. Logo, na prática, escolhemos 2 gerentes dentre os n-2 restantes. O conteúdo usado aqui é o de combinações: o número de maneiras de escolher 2 elementos de um conjunto de m elementos é dado por \binom{m}{2}.

Passo 2

Como só podemos escolher entre os n-2 vendedores elegíveis, o total de formas de promover 2 gerentes é
\binom{n-2}{2} = 105.

Passo 3

Recordando que
\binom{n-2}{2} = \frac{(n-2)(n-3)}{2},
temos
\frac{(n-2)(n-3)}{2} = 105 \quad\Longrightarrow\quad (n-2)(n-3) = 210.
Expandindo:
n^2 -5n +6 = 210 \quad\Longrightarrow\quad n^2 -5n -204 = 0.
Resolvendo a equação quadrática:
\Delta = (-5)^2 -4\cdot1\cdot(-204) = 25 + 816 = 841 = 29^2,
n = \frac{5 \pm 29}{2}.

Passo 4

As soluções são
n = \frac{5 + 29}{2} = 17 \quad\text{ou}\quad n = \frac{5 - 29}{2} = -12.
Como n é número de vendedores e deve ser positivo, fica n = 17.

Resposta

17

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