Questão 12 - Um foguete mede 100 m de comprimento em repouso. Quando ele viaja a uma velocida de 0,6 \mathrm{c}, qual será o comprímento medido por um observador na Terra?
L=L^{\prime} \cdot \sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}
a. ( ) 60 m
b. ( ) 70 m
c. ( ) 80 m
d. ( ) 90 m
e. ( ) 100 m

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o comprimento medido por um observador na Terra de um foguete que tem comprimento em repouso L' = 100\\ \mathrm{m} e que se move com velocidade v = 0,6\,c. Foi fornecida a fórmula
L = L' \cdot \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}.
Informações dadas:
L' = 100\\ \mathrm{m},\qquad v = 0,6\,c.
A pergunta é: qual é o valor de L medido pela Terra? (Opções: 60 m, 70 m, 80 m, 90 m, 100 m.)

Passo 2

Entendendo a fórmula e cada variável (explicação didática): a fórmula
L = L' \cdot \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}
diz que o comprimento observado L (comprimento medido num referencial onde o objeto está se movendo) é igual ao comprimento próprio L' (comprimento medido no referencial em que o objeto está em repouso) multiplicado por um fator de contração \sqrt{1 - v^{2}/c^{2}}. Aqui:
  • L é o comprimento medido pelo observador na Terra (unidade: metros).
  • L' é o comprimento em repouso do foguete (aqui 100\\ \mathrm{m}).
  • v é a velocidade do foguete relativa à Terra.
  • c é a velocidade da luz.
    O fator \sqrt{1 - v^{2}/c^{2}} é sempre entre 0 e 1 para 0 \le v < c, então L \le L': isso significa que, quanto mais rápido o foguete se move, menor o comprimento medido por quem observa de fora.

Passo 3

Calcular passo a passo o quadrado da razão v/c:
\frac{v}{c} = 0,6 \quad\Rightarrow\quad \left(\frac{v}{c}\right)^{2} = (0,6)^{2} = 0,36.
Agora calcular 1 - \dfrac{v^{2}}{c^{2}}:
1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} = 1 - 0,36 = 0,64.

Passo 4

Calcular a raiz quadrada do resultado anterior. Precisamos de \sqrt{0,64}. Lembrando que 0,8^{2} = 0,64, logo
\sqrt{0,64} = 0,8.
Esse é o fator de contração.

Passo 5

Aplicar o fator de contração ao comprimento em repouso:
L = L' \cdot 0,8 = 100\\ \mathrm{m} \cdot 0,8 = 80\\ \mathrm{m}.
Interpretação rápida: o observador na Terra verá o foguete com comprimento reduzido a 80\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Conferindo com as alternativas: a alternativa que corresponde a 80\\ \mathrm{m} é a letra (c). Boa! Você conseguiu — é um cálculo direto se você souber montar o fator \sqrt{1-v^{2}/c^{2}}.

Resposta

c. 80\\ \mathrm{m}

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