Uma lancha viajando a 73,0 \mathrm{~km} / \mathrm{h} causa uma onda de choque que faz um ângulo de 14,3^{\circ} com a trajetória da lancha. A que velocidade as ondas estão se movendo na água?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só.
  • Velocidade da lancha: v_{\text{lancha}} = 73,0\\ \mathrm{km/h}.
  • Ângulo entre a onda de choque (o bordo do cone/veneno de ondas) e a trajetória da lancha: \theta = 14,3^\circ.
  • Pergunta: qual é a velocidade das ondas na água (isto é, v_{\text{ondas}})?

Passo 2

Entendendo a situação (ideia geométrica por trás do problema). Quando um objeto se desloca mais rápido que as ondas que ele gera, cada posição do objeto gera uma onda circular que se expandirá com velocidade v_{\text{ondas}}. Depois de um tempo t, o centro dessas ondas está ao longo da trajetória do objeto, separado por distâncias v_{\text{lancha}}\,t entre posições sucessivas, e cada onda tem raio v_{\text{ondas}}\,t. A envoltória (envelope) dessas circunferências forma um ângulo \theta com a direção do movimento. Desenhando um triângulo retângulo entre o centro da circunferência, o ponto de tangência da envoltória e a posição mais recente da lancha, vemos que o cateto oposto tem comprimento v_{\text{ondas}}\,t e a hipotenusa tem comprimento v_{\text{lancha}}\,t. Logo, o seno do ângulo \theta é a razão entre essas duas distâncias:
\sin\theta=\frac{v_{\text{ondas}}\,t}{v_{\text{lancha}}\,t}=\frac{v_{\text{ondas}}}{v_{\text{lancha}}}.
Esta é a relação fundamental que vamos usar.

Passo 3

Isolando v_{\text{ondas}} da relação:
v_{\text{ondas}} = v_{\text{lancha}}\sin\theta.
Aqui v_{\text{lancha}} é a velocidade da lancha (em qualquer unidade consistente) e \theta é o ângulo dado. Não precisamos do tempo t porque ele cancela.

Passo 4

Calcular \sin\theta. Para \theta=14,3^\circ temos (aproximação suficiente para uma prova):
\sin 14,3^\circ \approx 0,2470.
Expliquei antes como aproximar seno somando pequenas variações; aqui usei uma aproximação numérica razoável.

Passo 5

Multiplicando para obter v_{\text{ondas}} em \mathrm{km/h}:
v_{\text{ondas}} = 73,0\cdot 0,2470 \approx 18,03\\ \mathrm{km/h}.
Arredondando com três algarismos significativos (compatível com os dados), fica v_{\text{ondas}}\approx 18,0\\ \mathrm{km/h}.

Passo 6

Converter para unidades do Sistema Internacional, \mathrm{m/s}, se for desejado. A conversão é 1\\ \mathrm{km/h}=1/3{,}6\\ \mathrm{m/s}. Assim
v_{\text{ondas}}\approx \frac{18{,}03}{3{,}6}\\ \mathrm{m/s}\approx 5{,}01\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

v_{\text{ondas}}\approx 18{,}0\\ \mathrm{km/h}
v_{\text{ondas}}\approx 5{,}01\\ \mathrm{m/s}

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