Questão 06 - Calcule o trabalho realizado por \vec{F}(x, y, z)=\left(x^{2},-z, \frac{-y}{z}\right) para mover uma partícula ao longo da curva C , que é parametrizada por \vec{r}(t)=\left(t^{2}, t^{3}, t\right), com 1 \leq \mathrm{t} \leq 2.
\frac{\mathbf{8 9}}{\mathbf{1 2}}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Campo vetorial: \vec{F}(x,y,z)=\left(x^{2},-z,\frac{-y}{z}\right).
  • Curva parametrizada: \vec{r}(t)=\left(t^{2},t^{3},t\right), com 1\le t\le 2.
  • Pergunta: Calcular o trabalho realizado por \vec{F} ao mover a partícula ao longo da curva C (isto é, o trabalho ao longo da curva parametrizada por \vec{r}(t) entre t=1 e t=2).

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicação didática): o trabalho de um campo vetorial \vec{F} ao longo de uma curva C parametrizada por \vec{r}(t) é a integral de linha do produto escalar \vec{F}\cdot d\vec{r}. Em forma paramétrica, isso vira
W=\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{t_0}^{t_1} \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}\,'(t)\,dt,
onde \vec{r}\,'(t) é a derivada vetor da parametrização (velocidade). Aqui t_0=1 e t_1=2.
Explicando cada peça:
  • \vec{F}(\vec{r}(t)) significa substituir x,y,z pelos componentes de \vec{r}(t).
  • \vec{r}\,'(t) é obtida derivando cada componente de \vec{r}(t) em relação a t.
  • O produto escalar \vec{a}\cdot\vec{b} é a soma dos produtos das componentes correspondentes.

Passo 3

Calcular \vec{r}\,'(t) derivando componente a componente:
\vec{r}(t)=\big(t^{2},\,t^{3},\,t\big)\quad\Rightarrow\quad \vec{r}\,'(t)=\big(2t,\,3t^{2},\,1\big).
Aqui eu derivei t^{2} para obter 2t, t^{3} para obter 3t^{2} e t para obter 1.

Passo 4

Avaliar \vec{F} na parametrização: substituir x=t^{2}, y=t^{3}, z=t em \vec{F}.
\vec{F}(\vec{r}(t))=\Big((t^{2})^{2},\,-t,\,-\frac{t^{3}}{t}\Big)=\big(t^{4},\,-t,\,-t^{2}\big).
Expliquei: a primeira componente é x^{2}=(t^{2})^{2}=t^{4}; a segunda é -z=-t; a terceira é -y/z=-(t^{3})/t=-t^{2}.

Passo 5

Calcular o produto escalar \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}\,'(t):
\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}\,'(t) = \big(t^{4},\,-t,\,-t^{2}\big)\cdot\big(2t,\,3t^{2},\,1\big).
Fazendo o produto componente a componente e somando:
= t^{4}\cdot 2t + (-t)\cdot 3t^{2} + (-t^{2})\cdot 1 = 2t^{5} - 3t^{3} - t^{2}.
Aqui apliquei a definição do produto escalar: \sum \text{(componente i de A)}\cdot\text{(componente i de B)}.

Passo 6

Agora montamos a integral para o trabalho usando os limites de t:
W=\int_{1}^{2} \big(2t^{5} - 3t^{3} - t^{2}\big)\,dt.
Vou integrar termo a termo. Antiderivadas:
\int 2t^{5}\,dt = \frac{2}{6}t^{6}=\frac{1}{3}t^{6}, \qquad \int -3t^{3}\,dt = -\frac{3}{4}t^{4}, \qquad \int -t^{2}\,dt = -\frac{1}{3}t^{3}.
Portanto a primitiva é
F(t)=\frac{1}{3}t^{6}-\frac{3}{4}t^{4}-\frac{1}{3}t^{3}.

Passo 7

Avaliar a primitiva nos limites 1 e 2 e subtrair:
Primeiro em t=2:
F(2)=\frac{1}{3}\cdot 2^{6} - \frac{3}{4}\cdot 2^{4} - \frac{1}{3}\cdot 2^{3} = \frac{64}{3} - \frac{48}{4} - \frac{8}{3} = \frac{64}{3} - 12 - \frac{8}{3} = \frac{56}{3} - 12 = \frac{20}{3}.
Depois em t=1:
F(1)=\frac{1}{3}\cdot 1^{6} - \frac{3}{4}\cdot 1^{4} - \frac{1}{3}\cdot 1^{3} = \frac{1}{3} - \frac{3}{4} - \frac{1}{3} = -\frac{3}{4}.
Observe que \frac{1}{3}-\frac{1}{3}=0, sobrou -\frac{3}{4}.

Passo 8

Subtrair F(1) de F(2):
W=F(2)-F(1)=\frac{20}{3} - \left(-\frac{3}{4}\right)=\frac{20}{3}+\frac{3}{4}.
Colocando em denominador comum 12:
\frac{20}{3}+\frac{3}{4}=\frac{80}{12}+\frac{9}{12}=\frac{89}{12}.

Resposta

\dfrac{89}{12}

Exercícios relacionados