Questão 06 - Calcule o trabalho realizado por
para mover uma partícula ao longo da curva C , que é parametrizada por
, com
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Campo vetorial:
. - Curva parametrizada:
, com . - Pergunta: Calcular o trabalho realizado por
ao mover a partícula ao longo da curva (isto é, o trabalho ao longo da curva parametrizada por entre e ).
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicação didática): o trabalho de um campo vetorial
ao longo de uma curva
parametrizada por
é a integral de linha do produto escalar
. Em forma paramétrica, isso vira
onde
é a derivada vetor da parametrização (velocidade). Aqui
e
.
Explicando cada peça:
-
significa substituir pelos componentes de . -
é obtida derivando cada componente de em relação a . - O produto escalar
é a soma dos produtos das componentes correspondentes.
Passo 3
Calcular
derivando componente a componente:
Aqui eu derivei
para obter
,
para obter
e
para obter
.
Passo 4
Avaliar
na parametrização: substituir
,
,
em
.
Expliquei: a primeira componente é
; a segunda é
; a terceira é
.
Passo 5
Calcular o produto escalar
:
Fazendo o produto componente a componente e somando:
Aqui apliquei a definição do produto escalar:
.
Passo 6
Agora montamos a integral para o trabalho usando os limites de
:
Vou integrar termo a termo. Antiderivadas:
Portanto a primitiva é
Passo 7
Avaliar a primitiva nos limites
e
e subtrair:
Primeiro em :
Primeiro em
Depois em
:
Observe que
, sobrou
.
Passo 8
Subtrair
de
:
Colocando em denominador comum
: