Questão 12 - Forças sobre espira triangular (triângulo retângulo 0,50; 1, 20 ; 1,30 \mathrm{~m} )

Enunciado resumido: Espira triangular com ladas 0,50 \mathrm{~m}, 1,20 \mathrm{~m} \mathrm{e} 1,30 \mathrm{~m} (triängulo retängulo), corrente I=4,0 \mathrm{~A}. Campo B paralelo à hipotenusa e tem o mesmo sentido da comente nessa hipotenusa.
Determine as forças sobre cada lado e a resultante.
Analise: Força em um fio retilineor: \vec{F}=I \vec{L} \times \vec{B}.
  • Se \vec{B} é paralelo à hipotenusa, entāo \vec{L} da hipotenusa é paralelo a \vec{B} \rightarrow \vec{L} \times \vec{B}=0 \rightarrow força nula na hipotenusa.
  • Nas pernas (catetos), \vec{L} è perpendicular a \vec{B} (ou nāo paralebo), entāo há forças sobre eles. Essas forças formam um par de torques que se cancelam, e a resultante vetorial total das forças è nula (equilibrio translacional), embora possa haver torques.
    Resposta final: Força sobre hipotenusa =0. Forças nos catetos nāo nulas, mas resultante vetorial total =0.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (resumido e claro):
  • Temos uma espira triangular retângula com lados de comprimento 0,50\\ \mathrm{m}, 1,20\\ \mathrm{m} e 1,30\\ \mathrm{m}. (Observei estes comprimentos do enunciado.)
  • A corrente na espira vale I=4,0\\ \mathrm{A}.
  • O campo magnético \vec{B} é paralelo à hipotenusa e tem o mesmo sentido da corrente nessa hipotenusa. (Informação do enunciado.)
  • Pede-se: a força sobre cada lado da espira e a resultante vetorial dessas forças.
Informações importantes a notar, que uso depois:
  • O triângulo é retângulo com hipotenusa 1,30\\ \mathrm{m}; os catetos são 1,20\\ \mathrm{m} e 0,50\\ \mathrm{m}. Esses números formam a escala do triângulo 5\!:\!12\!:\!13 multiplicado por 0,10.
  • O módulo do campo B não foi dado; portanto as forças aparecerão em função de B.

Passo 2

Fórmula a usar e significado de cada símbolo (aulas rápidas):
  • Para um fio retilíneo que leva corrente I com vetor comprimento \vec{L} (do início ao fim do segmento no sentido da corrente), colocado em campo \vec{B}, a força é
\vec{F}=I\,\vec{L}\times\vec{B}.
  • Em módulo isso fica
F = I\,L\,B\,\sin\theta,
onde:
  • I é a corrente (em ampère),
  • L é o comprimento do segmento (em metros),
  • B é o módulo do campo magnético (em tesla),
  • \theta é o ângulo entre \vec{L} e \vec{B}.
  • Interpretação prática: se \vec{L} é paralelo a \vec{B} então \sin\theta=0 e F=0. Se \vec{L} é perpendicular a \vec{B} então \sin\theta=1 e F=I\,L\,B.

Passo 3

Escolha de orientação e coordenadas (para calcular direções e ângulos de forma concreta):
  • Coloco os catetos ao longo dos eixos coordenados para facilitar:
    • vértice A em (0,0),
    • vértice B em (1{,}20,0) (cateto de 1{,}20\\ \mathrm{m} ao longo de x),
    • vértice C em (0,0{,}50) (cateto de 0{,}50\\ \mathrm{m} ao longo de y).
  • Assim os lados são:
    • cateto horizontal (AB): \vec{L}_1=(1{,}20,0), comprimento L_1=1{,}20.
    • cateto vertical (CA): \vec{L}_2=(0,-0{,}50) se a corrente vai de C para A (vou escolher correntear A→B→C→A no sentido anti-horário; qualquer sentido consistente dá o mesmo módulo das forças, apenas muda o sinal).
    • hipotenusa (BC): \vec{L}_h=\vec{r}_C-\vec{r}_B=(0-1{,}20,\;0{,}50-0)=(-1{,}20,\;0{,}50), comprimento L_h=1{,}30.
  • Pelo enunciado, \vec{B} é paralelo à hipotenusa e tem o mesmo sentido da corrente na hipotenusa, logo \vec{B} é paralelo a \vec{L}_h.

Passo 4

Unidade e direção do campo (uso geométrico do triângulo 5\!:\!12\!:\!13):
  • O vetor direção da hipotenusa (e, portanto, de \vec{B}) é proporcional a (-1{,}20,\;0{,}50). O módulo disso é 1{,}30.
  • O versor na direção de \vec{B} é
\hat{b}=\frac{1}{1{,}30}(-1{,}20,\;0{,}50)=\left(-\frac{12}{13},\;\frac{5}{13}\right).
  • Assim podemos escrever \vec{B}=B\,\hat{b} com B o módulo desconhecido.

Passo 5

Força na hipotenusa (caso simples):
  • Como \vec{L}_h é paralelo a \vec{B}, o ângulo entre eles é 0, então
\vec{F}_h=I\,\vec{L}_h\times\vec{B}=0.
Conclusão: a força sobre a hipotenusa é nula.

Passo 6

Força no cateto de comprimento 1{,}20\\ \mathrm{m} (cálculo do módulo e direção):
  • Para o cateto AB temos \vec{L}_1=(1{,}20,0). O módulo é L_1=1{,}20.
  • O seno do ângulo entre \vec{L}_1 e \vec{B} pode ser obtido pelo determinante (componente z do produto vetorial em 2D) ou pela projeção: usando \hat{b} temos
\sin\theta_1=\frac{|\,\det(\vec{L}_1,\hat{b})\,|}{L_1}=\frac{|1{,}20\cdot(5/13)-0\cdot(-12/13)|}{1{,}20}=\frac{5}{13}.
  • Assim o módulo da força é
F_1=I\,L_1\,B\,\sin\theta_1=I\cdot 1{,}20\cdot B\cdot\frac{5}{13}=I\,B\cdot\frac{6}{13}.
  • Substituindo I=4{,}0\\ \mathrm{A}:
F_1=\frac{24}{13}\,B\\ \mathrm{N}\approx 1{,}846\,B\\ \mathrm{N}.
  • Direção (sentido do vetor): calculamos o produto escalar em 2D para o z do produto vetorial,
(\vec{L}_1\times\vec{B})_z = L_{1x}\,B_y-L_{1y}\,B_x = 1{,}20\cdot\big(B\cdot\frac{5}{13}\big)-0 = +\frac{6}{13}B>0,
portanto a força aponta para fora do plano (no sentido positivo de z).

Passo 7

Força no cateto de comprimento 0{,}50\\ \mathrm{m} (cálculo do módulo e direção):
  • Para o cateto CA temos \vec{L}_2=(0,-0{,}50). O módulo é L_2=0{,}50.
  • O seno do ângulo entre \vec{L}_2 e \vec{B} é
\sin\theta_2=\frac{|\,\det(\vec{L}_2,\hat{b})\,|}{L_2} =\frac{|0\cdot(5/13)-(-0{,}50)\cdot(-12/13)|}{0{,}50} =\frac{12}{13}.
  • O módulo da força é
F_2=I\,L_2\,B\,\sin\theta_2=I\cdot 0{,}50\cdot B\cdot\frac{12}{13}=I\,B\cdot\frac{6}{13}.
  • Substituindo I=4{,}0\\ \mathrm{A}:
F_2=\frac{24}{13}\,B\\ \mathrm{N}\approx 1{,}846\,B\\ \mathrm{N}.
  • Direção: o componente z do produto vetorial é
(\vec{L}_2\times\vec{B})_z = L_{2x}\,B_y-L_{2y}\,B_x = 0\cdot\big(B\frac{5}{13}\big)-(-0{,}50)\cdot\big(B(-\tfrac{12}{13})\big) = -\frac{6}{13}B <0,
portanto a força aponta para dentro do plano (no sentido negativo de z). Observe que o módulo de F_2 é igual ao de F_1 e o sentido é oposto.

Passo 8

Resultante vetorial das forças e comentário físico:
  • Temos \vec{F}_h=\vec{0}, |\vec{F}_1|=|\vec{F}_2|=\dfrac{24}{13}B e as direções são opostas (uma sai do plano, a outra entra no plano). Assim as duas forças nos catetos se cancelam vetorialmente:
\vec{F}_\text{resultante}=\vec{F}_1+\vec{F}_2+\vec{F}_h=\vec{0}.
  • Interpretação física: há equilíbrio translacional (resultante nula), mas a disposição das forças pode produzir momento (torque) sobre a espira — isto não pede cálculo aqui, mas é bom saber que forças iguais e opostas aplicadas em pontos distintos podem gerar rotação.

Resposta

Força na hipotenusa =0.
Força no cateto de 1{,}20\\ \mathrm{m}= \dfrac{24}{13}\,B\\ \mathrm{N}\approx 1{,}846\,B\\ \mathrm{N}, para fora do plano.
Força no cateto de 0{,}50\\ \mathrm{m}= \dfrac{24}{13}\,B\\ \mathrm{N}\approx 1{,}846\,B\\ \mathrm{N}, para dentro do plano.
Resultante vetorial das forças =0.

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