Questão 4 - Espectrômetro de massa: deduzir
Enunciado resumido: lon acelerado por diferença de potencial
obtém
e entra em campo magnético descrevendo semicircunferéncia; a distáncia até a placa é
. Deduza
em funçia de
.
Passo a passa:
- Energia cinética após aceleraçāx
.
- Em campo
o raio da trajetória circular é
.
- Para uma semicircunferéncia, a deflexia lateral
(medida entre entrada e ponto de impacto) relacionase com
. Geometria tipica usada no enunciado da
(ou conforme figura; aqui usamos
). Entāo
- Substituindo to e isolando
:
Eleve ao quadrado e resolva para in:
Resposta final:
.
Passo 1
O enunciado dá um íon de carga
) que é acelerado por uma diferença de potencial
) e, por isso, ganha energia cinética. Depois o íon entra em uma região com campo magnético uniforme de intensidade
) e descreve uma semicírculo antes de atingir uma placa. A distância medida entre o ponto de entrada do íon e o ponto onde ele atinge a placa é
). O problema pede: deduzir a massa
) do íon em função de
).
Informações relevantes fornecidas:
- A aceleração por diferença de potencial implica que a energia cinética ao sair da região aceleradora é ).
- O campo magnético é ) e faz o íon descrever uma trajetória circular (aqui uma semicircunferência).
- A distância medida até a placa é ). Conforme o enunciado/figura, usamos a relação geométrica ), onde ) é o raio da semicircunferência.
- Queremos isolar ) em termos de ).
Passo 2
Primeiro vamos transformar a energia elétrica fornecida pela diferença de potencial em velocidade do íon. A ideia física: ao cair pela diferença de potencial
), o íon ganha energia potencial elétrica
que vira energia cinética. Escrevemos a conservação da energia (trabalhando em escala clássica, não relativística):
onde
) é a velocidade do íon ao entrar no campo magnético,
) é a massa que queremos achar, e
) é a carga. Isolando
):
Explicação didática: a fórmula da energia cinética
dá a energia associada ao movimento; igualando-a a
obtemos a velocidade em função de
.
Passo 3
Agora vemos como o campo magnético curva a trajetória. A força magnética sobre uma partícula de carga
que se move com velocidade
perpendicular a um campo
tem módulo
(força de Lorentz). Essa força é sempre perpendicular à velocidade e, portanto, atua como força centrípeta que mantém a partícula em movimento circular. A condição de movimento circular é:
Aqui
) é o raio da circunferência descrita. Podemos simplificar um fator
(assumindo
) e obter:
Explicação didática: a fórmula
vem da definição de aceleração centrípeta
multiplicada pela massa; já
é o módulo da força magnética para velocidade perpendicular ao campo.
Passo 4
Usamos a relação geométrica entre a distância medida
e o raio
. Para uma semicircunferência, a distância entre o ponto de entrada e o ponto de impacto, passando pelo diâmetro, é exatamente o diâmetro da semicircunferência. Portanto:
Observação: esta relação foi indicada no enunciado/figura; por isso a adotamos diretamente.
Passo 5
Agora substituímos a expressão de
em termos de
e
dentro de
. De
e
segue:
Em seguida substituímos a velocidade
que obtivemos pelo balanço de energia (
):
Explicação do passo: colocamos a expressão de
dentro de
para obter uma equação que envolva apenas
.
Passo 6
Simplificamos a expressão do lado direito antes de isolar
. Reescrevendo:
Dentro da raiz temos uma dependência em
no denominador; multiplicando
por essa raiz dá uma raiz simples em
. Para manipular com segurança, elevamos ambos os lados ao quadrado (isso elimina a raiz). Ao quadrar:
No lado direito podemos simplificar
com
ficando uma única potência
:
Agora simplificamos os fatores
:
Passo a passo: ao elevar ao quadrado tiramos a raiz; em seguida cancelamos um fator
entre numerador e denominador.
Passo 7
Isolamos
a partir da última equação. Multiplicando ambos os lados por
obtemos:
Agrupando os fatores numéricos
resulta:
Explicação final: isolamos
fazendo operações algébricas simples (multiplicar e rearranjar termos). Sempre conferimos que as etapas de simplificação respeitam cancelamentos legítimos (por exemplo, assumimos
,
,
, condição física razoável no problema).
Passo 8
Checagem rápida de consistência (óptica): as unidades funcionais —
em coulombs,
em tesla,
em metros e
em volts — levam a massa em quilogramas quando combinadas corretamente nessa fórmula (isso é um bom sinal que a expressão está coerente dimensionalmente).