Questão 4 - Espectrômetro de massa: deduzir m=\frac{q B^{2} x^{2}}{8 V}

Enunciado resumido: lon acelerado por diferença de potencial V obtém K=q V e entra em campo magnético descrevendo semicircunferéncia; a distáncia até a placa é x. Deduza m em funçia de q, B, x, V.

Passo a passa:

  1. Energia cinética após aceleraçāx q V=\frac{1}{2} m v^{2} \Rightarrow v=\sqrt{\frac{2 q V}{m}}.
  2. Em campo B o raio da trajetória circular é r=\frac{m w}{q B}.
  3. Para uma semicircunferéncia, a deflexia lateral x (medida entre entrada e ponto de impacto) relacionase com r. Geometria tipica usada no enunciado da x=2 r (ou conforme figura; aqui usamos x=2 r ). Entāo r=x / 2
  4. Substituindo to e isolando m :
\frac{x}{2}=\frac{m}{q B} \sqrt{\frac{2 q V}{m}} \Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{\sqrt{2 m q V}}{q B}
Eleve ao quadrado e resolva para in:
\frac{x^{2}}{4}=\frac{2 m q V}{q^{2} B^{2}} \Rightarrow m=\frac{q B^{2} x^{2}}{8 V}
Resposta final: m=\frac{q B^{2} x^{2}}{8 V}.

Passo 1

O enunciado dá um íon de carga \(q) que é acelerado por uma diferença de potencial \(V) e, por isso, ganha energia cinética. Depois o íon entra em uma região com campo magnético uniforme de intensidade \(B) e descreve uma semicírculo antes de atingir uma placa. A distância medida entre o ponto de entrada do íon e o ponto onde ele atinge a placa é \(x). O problema pede: deduzir a massa \(m) do íon em função de \(q,B,x,V).
Informações relevantes fornecidas:
  • A aceleração por diferença de potencial implica que a energia cinética ao sair da região aceleradora é \(qV).
  • O campo magnético é \(B) e faz o íon descrever uma trajetória circular (aqui uma semicircunferência).
  • A distância medida até a placa é \(x). Conforme o enunciado/figura, usamos a relação geométrica \(x=2r), onde \(r) é o raio da semicircunferência.
  • Queremos isolar \(m) em termos de \(q,B,x,V).

Passo 2

Primeiro vamos transformar a energia elétrica fornecida pela diferença de potencial em velocidade do íon. A ideia física: ao cair pela diferença de potencial \(V), o íon ganha energia potencial elétrica qV que vira energia cinética. Escrevemos a conservação da energia (trabalhando em escala clássica, não relativística):
qV = \tfrac{1}{2} m v^{2}
onde \(v) é a velocidade do íon ao entrar no campo magnético, \(m) é a massa que queremos achar, e \(q) é a carga. Isolando \(v):
v = \sqrt{\frac{2 q V}{m}}.
Explicação didática: a fórmula da energia cinética \tfrac{1}{2}mv^{2} dá a energia associada ao movimento; igualando-a a qV obtemos a velocidade em função de m,q,V.

Passo 3

Agora vemos como o campo magnético curva a trajetória. A força magnética sobre uma partícula de carga q que se move com velocidade v perpendicular a um campo B tem módulo q v B (força de Lorentz). Essa força é sempre perpendicular à velocidade e, portanto, atua como força centrípeta que mantém a partícula em movimento circular. A condição de movimento circular é:
\text{força centrípeta} = \text{força magnética}çíçé
\frac{m v^{2}}{r} = q v B.
Aqui \(r) é o raio da circunferência descrita. Podemos simplificar um fator v (assumindo v\neq 0) e obter:
\frac{m v}{r} = q B \quad\Rightarrow\quad r = \frac{m v}{q B}.
Explicação didática: a fórmula \tfrac{m v^{2}}{r} vem da definição de aceleração centrípeta a_c = v^{2}/r multiplicada pela massa; já q v B é o módulo da força magnética para velocidade perpendicular ao campo.

Passo 4

Usamos a relação geométrica entre a distância medida x e o raio r. Para uma semicircunferência, a distância entre o ponto de entrada e o ponto de impacto, passando pelo diâmetro, é exatamente o diâmetro da semicircunferência. Portanto:
x = 2 r.
Observação: esta relação foi indicada no enunciado/figura; por isso a adotamos diretamente.

Passo 5

Agora substituímos a expressão de r em termos de m e v dentro de x=2r. De r=\dfrac{m v}{q B} e x=2r segue:
\frac{x}{2} = r = \frac{m v}{q B}.
Em seguida substituímos a velocidade v que obtivemos pelo balanço de energia ( v=\sqrt{\dfrac{2 q V}{m}}):
\frac{x}{2} = \frac{m}{q B}\,\sqrt{\frac{2 q V}{m}}.
Explicação do passo: colocamos a expressão de v dentro de r para obter uma equação que envolva apenas x,m,q,B,V.

Passo 6

Simplificamos a expressão do lado direito antes de isolar m. Reescrevendo:
\frac{x}{2} = \frac{1}{q B}\; m\;\sqrt{\frac{2 q V}{m}}.
Dentro da raiz temos uma dependência em m no denominador; multiplicando m por essa raiz dá uma raiz simples em m. Para manipular com segurança, elevamos ambos os lados ao quadrado (isso elimina a raiz). Ao quadrar:
\left(\frac{x}{2}\right)^{2} = \left(\frac{1}{q B}\right)^{2}\; m^{2}\;\frac{2 q V}{m}.
No lado direito podemos simplificar m^{2} com m ficando uma única potência m:
\frac{x^{2}}{4} = \frac{1}{q^{2} B^{2}}\; (m)\; (2 q V).
Agora simplificamos os fatores q:
\frac{x^{2}}{4} = \frac{2 m q V}{q^{2} B^{2}} = \frac{2 m V}{q B^{2}}.
Passo a passo: ao elevar ao quadrado tiramos a raiz; em seguida cancelamos um fator q entre numerador e denominador.

Passo 7

Isolamos m a partir da última equação. Multiplicando ambos os lados por \dfrac{q B^{2}}{2 V} obtemos:
m = \frac{q B^{2}}{2 V}\;\frac{x^{2}}{4}.
Agrupando os fatores numéricos \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{8} resulta:
m = \frac{q B^{2} x^{2}}{8 V}.
Explicação final: isolamos m fazendo operações algébricas simples (multiplicar e rearranjar termos). Sempre conferimos que as etapas de simplificação respeitam cancelamentos legítimos (por exemplo, assumimos q\neq 0, B\neq 0, V\neq 0, condição física razoável no problema).

Passo 8

Checagem rápida de consistência (óptica): as unidades funcionais — q em coulombs, B em tesla, x em metros e V em volts — levam a massa em quilogramas quando combinadas corretamente nessa fórmula (isso é um bom sinal que a expressão está coerente dimensionalmente).

Resposta

m=\frac{q B^{2} x^{2}}{8 V}

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