Questão 5 - Partícula com q=2 e, v=0,10 c, r=4,72 \mathrm{~m}, B= 0,133 \mathrm{~T} : identificar massa
Enunciado resumido: Dado q=2 e, v=0,10 c, r e B, calcule m e identifique a particula.
Relaçān r=\frac{m v}{q B} \Rightarrow m=\frac{q B r}{v}.
Calculo:
  • v=0,10 c=0,10 \times 299792458 \mathrm{~m} / \mathrm{s}=2,99792458 \times 10^{7} \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
  • m=\frac{\left(2 \times 1,602176634 \times 10^{-19}\right)(0,133)(4,72)}{2,99792458 \times 10^{7}} \approx 6,7099 \times 10^{-27} \mathrm{~kg}.
  • Em unidades de u m \approx \frac{6,7099 \times 10^{-27}}{1,66053906660 \times 10^{-27}} \approx 4,041 u.
Conclusāo: Massa \approx 4 u \rightarrow é particula alfa (núcleo de { }^{4} \mathrm{He} ).

Passo 1

Enunciado curto e dados fornecidos (vou listar exatamente o que temos e o que é pedido):
  • Dados:
    \;q=2e (carga da partícula),
    \;v=0{,}10\,c (velocidade dada como fração da velocidade da luz),
    \;r=4{,}72\\ \mathrm{m} (raio da trajetória circular),
    \;B=0{,}133\\ \mathrm{T} (campo magnético).
  • Constantes numéricas que vamos usar:
    \;e = 1{,}602176634\times 10^{-19}\\ \mathrm{C},
    \;c = 299\,792\,458\\ \mathrm{m/s},
    \;1\\ \mathrm{u} = 1{,}66053906660\times 10^{-27}\\ \mathrm{kg}.
  • Pedido:
    1. Calcular a massa \;m da partícula usando a relação dada.
    2. Identificar qual é a partícula a partir da massa e da carga.

Passo 2

Dedução física da fórmula usada (explicando cada termo, como se fosse na prova):
  • Quando uma partícula com carga \;q e velocidade \;v se move perpendicularmente a um campo magnético \;B, a força magnética tem módulo
F_{\text{mag}} = q\,v\,B.
Aqui \;F_{\text{mag}} é a força magnética em newtons, \;q em coulombs, \;v em \mathrm{m/s} e \;B em tesla.
  • Essa força fornece a força centrípeta que mantém a partícula movendo-se em círculo, cujo módulo é
F_{\text{cent}} = \frac{m v^{2}}{r},
onde \;m é a massa (kg) e \;r o raio da curva (m).
  • Igualando as duas forças (porque a força magnética é a responsável pela aceleração centrípeta):
q v B = \frac{m v^{2}}{r}.
  • Cancelando um fator \;v (assumindo \;v\neq 0) obtemos a relação usada:
m = \frac{q B r}{v}.
Explicação das variáveis: \;m (kg) é o que queremos; \;q (C) é a carga total; \;B (T) e \;r (m) são dados; \;v (m/s) é a velocidade absoluta.

Passo 3

Calcular numericamente a velocidade \;v em \mathrm{m/s}:
  • Dados: \;v=0{,}10\,c e \;c=299\,792\,458\\ \mathrm{m/s}.
  • Portanto
v = 0{,}10 \times 299\,792\,458\\ \mathrm{m/s} = 2{,}99792458\times 10^{7}\\ \mathrm{m/s}.
Comentário didático: já que \;0{,}10 é apenas um décimo de c, multipliquei o valor exato de c por 0{,}10 para ficar na unidade SI.

Passo 4

Calcular a carga numérica \;q:
  • Como \;q=2e e \;e = 1{,}602176634\times 10^{-19}\\ \mathrm{C}, temos
q = 2 \times 1{,}602176634\times 10^{-19}\\ \mathrm{C} = 3{,}204353268\times 10^{-19}\\ \mathrm{C}.
Explicação: é apenas o dobro da carga elementar, porque a partícula tem carga +2e.

Passo 5

Substituir na fórmula e calcular passo a passo \;m=\dfrac{q B r}{v}:
  • Primeiro calcule qB:
qB = \left(3{,}204353268\times 10^{-19}\right)\times 0{,}133 = 4{,}261790847\times 10^{-20}\\ \mathrm{C\cdot T}.
  • Agora multiplique por r=4{,}72\\ \mathrm{m}:
qBr = 4{,}261790847\times 10^{-20}\times 4{,}72 \approx 2{,}011525\times 10^{-19}\\ \mathrm{(C\cdot T\cdot m)}.
  • Finalmente divida por v=2{,}99792458\times 10^{7}\\ \mathrm{m/s}:
m = \frac{2{,}011525\times 10^{-19}}{2{,}99792458\times 10^{7}}\\ \mathrm{kg} \approx 6{,}7099\times 10^{-27}\\ \mathrm{kg}.
Observação prática: os fatores de unidade se simplificam corretamente porque \mathrm{C\cdot T\cdot m / (m/s)} \mathrm{kg} (lembre que \mathrm{1\\ T = 1\\ N/(A\cdot m)} e \mathrm{1\\ C/s = 1\\ A}, a verificação das unidades é uma boa prática na prova).

Passo 6

Converter a massa obtida para unidades atômicas ( \mathrm{u}):
  • Usando \;1\\ \mathrm{u} = 1{,}66053906660\times 10^{-27}\\ \mathrm{kg}, calculamos
\frac{m}{1\\ \mathrm{u}} = \frac{6{,}7099\times 10^{-27}}{1{,}66053906660\times 10^{-27}} \approx 4{,}041\\ \mathrm{u}.
Interpretação: a massa é aproximadamente 4\\ \mathrm{u}, dentro do arredondamento experimental/usual.

Passo 7

Identificação da partícula (comparando massa e carga):
  • A partícula tem carga \;+2e e massa \approx 4{,}04\\ \mathrm{u}.
  • Isso coincide com as características do núcleo de hélio-4 (partícula alfa), que tem carga +2e e massa aproximada 4\\ \mathrm{u}.
  • Observação para a prova: a diferença pequena entre 4{,}041\\ \mathrm{u} e exatamente 4{,}000\\ \mathrm{u} pode ser atribuída ao arredondamento dos dados ou ao fato de que a massa nuclear real inclui energia de ligação — mas para identificação, afirmar “partícula alfa ( ^4\mathrm{He} núcleo)” é a conclusão correta.

Resposta

m \approx 6{,}71\times 10^{-27}\\ \mathrm{kg} \approx 4{,}04\\ \mathrm{u}\nPartícula: partícula alfa (núcleo de ^4\mathrm{He}).

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