Questão 4.12 Um oscilador harmônico simples de massa
e constante de mola
está descrito pelo Hamiltoniano
. Mostre que um sistema deste tipo corresponde a um oscilador harmônico simples, cuja equação é bem conhecida.
Passo 1
O enunciado dá o Hamiltoniano do sistema (vou escrever de forma padrão, pois o enunciado contém uma notação confusa). O Hamiltoniano é a soma da energia cinética com a energia potencial:
O que se pede: mostrar que esse sistema corresponde a um oscilador harmônico simples e obter a equação de movimento conhecida para esse caso.
Passo 2
Entendendo fisicamente e formalmente o que está escrito:
-
é a coordenada generalizada (posição). -
é o momento conjugado à coordenada (no caso usual sem termos dependentes de não-lineares, coincide com o momento linear ; vamos verificar isso). -
é a massa e a constante elástica da mola.
O Hamiltonianorepresenta a energia cinética e a energia potencial elástica.
Passo 3
Lembrando as equações Hamiltonianas (essas são as fórmulas básicas da mecânica Hamiltoniana):
Aqui
significa derivada de
em relação ao tempo
, isto é
, e
.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais do Hamiltoniano:
pois a parte
não depende de
.
pois a parte
não depende de
.
Passo 5
Aplicando as equações Hamiltonianas com as derivadas parciais calculadas:
A primeira relação já mostra que o momento conjuga-do
satisfa-z
, ou seja, aqui o momento canônico é o momento linear usual.
Passo 6
Agora eliminamos
para obter uma equação só em
. Diferenciando temporalmente a primeira equação:
Usando
da segunda equação:
Rearranjando obtemos a equação diferencial de segunda ordem clássica do oscilador harmônico:
Passo 7
É comum definir a frequência angular natural
por
de modo que a equação fica na forma padrão
Essa é exatamente a equação do oscilador harmônico simples.
Passo 8
Resolver essa equação é um procedimento padrão de equações lineares com coeficientes constantes. A equação característica é
, cujas raízes são
. Portanto a solução geral (com constantes de integração fixadas por condições iniciais) é
onde
e
são constantes determinadas por
e
. O momento
segue de
:
Passo 9
Resumo intuitivo e incentivo: portanto, partindo do Hamiltoniano dado, via equações de Hamilton obtivemos
, a equação do oscilador harmônico simples, com solução oscilatória de frequência
. Dá para ver que energia total
é conservada (constante no tempo), e o movimento é periódico com período
. Você está indo bem — isso é exatamente o que se pede provar.