Questão 4.12 Um oscilador harmônico simples de massa m e constante de mola k está descrito pelo Hamiltoniano H={ }_{2}-{ }^{p}{ }_{m^{2}}+\frac{1}{2} k x^{2}. Mostre que um sistema deste tipo corresponde a um oscilador harmônico simples, cuja equação é bem conhecida.

Passo 1

O enunciado dá o Hamiltoniano do sistema (vou escrever de forma padrão, pois o enunciado contém uma notação confusa). O Hamiltoniano é a soma da energia cinética com a energia potencial:
H = \frac{p^{2}}{2m} + \frac{1}{2}k x^{2}.
O que se pede: mostrar que esse sistema corresponde a um oscilador harmônico simples e obter a equação de movimento conhecida para esse caso.

Passo 2

Entendendo fisicamente e formalmente o que está escrito:
  • x é a coordenada generalizada (posição).
  • p é o momento conjugado à coordenada x (no caso usual sem termos dependentes de \dot x não-lineares, coincide com o momento linear m\dot x; vamos verificar isso).
  • m é a massa e k a constante elástica da mola.
    O Hamiltoniano \dfrac{p^{2}}{2m} representa a energia cinética e \dfrac{1}{2}k x^{2} a energia potencial elástica.

Passo 3

Lembrando as equações Hamiltonianas (essas são as fórmulas básicas da mecânica Hamiltoniana):
\dot x = \frac{\partial H}{\partial p},\qquad \dot p = -\frac{\partial H}{\partial x}.
Aqui \dot x significa derivada de x em relação ao tempo t, isto é \dot x=\dfrac{dx}{dt}, e \dot p=\dfrac{dp}{dt}.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais do Hamiltoniano:
\frac{\partial H}{\partial p}=\frac{\partial}{\partial p}\left(\frac{p^{2}}{2m}+\frac{1}{2}k x^{2}\right)=\frac{p}{m},
pois a parte \tfrac{1}{2}k x^{2} não depende de p.
\frac{\partial H}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{p^{2}}{2m}+\frac{1}{2}k x^{2}\right)=k x,
pois a parte \tfrac{p^{2}}{2m} não depende de x.

Passo 5

Aplicando as equações Hamiltonianas com as derivadas parciais calculadas:
\dot x = \frac{p}{m}, \qquad \dot p = -k x.
A primeira relação já mostra que o momento conjuga-do p satisfa-z p=m\dot x, ou seja, aqui o momento canônico é o momento linear usual.

Passo 6

Agora eliminamos p para obter uma equação só em x. Diferenciando temporalmente a primeira equação:
\ddot x = \frac{d}{dt}\left(\frac{p}{m}\right)=\frac{\dot p}{m}.
Usando \dot p = -k x da segunda equação:
\ddot x = \frac{-k x}{m}.
Rearranjando obtemos a equação diferencial de segunda ordem clássica do oscilador harmônico:
\ddot x + \frac{k}{m}\,x = 0.

Passo 7

É comum definir a frequência angular natural \omega por
\omega^{2}=\frac{k}{m},
de modo que a equação fica na forma padrão
\ddot x + \omega^{2} x = 0.
Essa é exatamente a equação do oscilador harmônico simples.

Passo 8

Resolver essa equação é um procedimento padrão de equações lineares com coeficientes constantes. A equação característica é r^{2}+\omega^{2}=0, cujas raízes são r=\pm i\omega. Portanto a solução geral (com constantes de integração fixadas por condições iniciais) é
x(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t),
onde A e B são constantes determinadas por x(0) e \dot x(0). O momento p(t) segue de \;p=m\dot x\;:
p(t)=m\dot x(t)=-m\omega A\sin(\omega t)+m\omega B\cos(\omega t).

Passo 9

Resumo intuitivo e incentivo: portanto, partindo do Hamiltoniano dado, via equações de Hamilton obtivemos \ddot x+\dfrac{k}{m}x=0, a equação do oscilador harmônico simples, com solução oscilatória de frequência \omega=\sqrt{k/m}. Dá para ver que energia total H é conservada (constante no tempo), e o movimento é periódico com período T=\dfrac{2\pi}{\omega}. Você está indo bem — isso é exatamente o que se pede provar.

Resposta

\ddot x+\frac{k}{m}x=0,\qquad \omega=\sqrt{\frac{k}{m}},\qquad x(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t).

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