QUESTÃO 14: Uma barra de aço sólida de seção transversal circular tem diâmetro d=50 \mathrm{~mm}, comprimento L=1,2 m e módulo de elasticidade transversal G=80 G P a. A barra está submetida a torques T agindo nas extremidades:
se a tensão de cisalhamento admissível é de 42 M P a e o ângulo de torção admissível é 2,5^{\circ}, qual é o torque máximo permitido?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • d=50\\ \mathrm{mm} (diâmetro da barra)
    • L=1,2\\ \mathrm{m} (comprimento)
    • G=80\\ \mathrm{GPa} (módulo de elasticidade transversal)
    • tensão de cisalhamento admissível \tau_{\text{adm}}=42\\ \mathrm{MPa}
    • ângulo de torção admissível \theta_{\text{adm}}=2,5^\circ
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar o torque máximo permitido T_{\max}, considerando tanto o limite pela tensão de cisalhamento quanto o limite pelo ângulo de torção. O torque máximo será o menor dos dois limites (pois ambos devem ser satisfeitos).
Observação: converterei unidades para o Sistema Internacional ao longo do cálculo.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas de forma didática).
  1. Para uma barra circular maciça em torção, a máxima tensão de cisalhamento ocorre na superfície externa (raio c) e vale:
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J},
onde:
  • T é o torque aplicado (unidade \mathrm{N\cdot m});
  • c é o raio externo da seção ( c=d/2);
  • J é o momento polar de inércia da seção (também chamado de momento de inércia polar).
  1. Para uma seção circular maciça o momento polar de inércia é
J=\frac{\pi d^{4}}{32}.
Aqui d em metros e J em \mathrm{m^{4}}.
  1. O ângulo de torção total \theta (em radianos) para um eixo uniforme submetido a torque T é dado por
\theta=\frac{T\,L}{J\,G},
onde G é o módulo de elasticidade transversal (módulo de cisalhamento).
Método: calculamos o torque limite imposto pela tensão, usando \tau_{\max}=\tau_{\text{adm}}, e o torque limite imposto pelo ângulo, usando \theta=\theta_{\text{adm}}. O T_{\max} final é o menor desses dois valores.

Passo 3

Conversões e cálculo de J.
  • Converter o diâmetro para metros:
d=50\\ \mathrm{mm}=0,05\\ \mathrm{m}.
  • Raio externo:
c=\frac{d}{2}=0,025\\ \mathrm{m}.
  • Calcular d^{4}:
d^{4}=(0,05)^{4}=6,25\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{4}}.
  • Calcular J:
J=\frac{\pi d^{4}}{32}=\frac{\pi\cdot6{,}25\times10^{-6}}{32}.
Agora a conta numérica:
J\approx 6{,}136\times10^{-7}\\ \mathrm{m^{4}}.

Passo 4

Determinar o torque limite imposto pela tensão de cisalhamento.
Usamos \tau_{\max}=\dfrac{T\,c}{J}. Isolando T:
T_{\tau}=\frac{\tau_{\text{adm}}\,J}{c}.
Substituindo os valores (em unidades SI):
\tau_{\text{adm}}=42\\ \mathrm{MPa}=42\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}, \quad J\approx6{,}136\times10^{-7}\\ \mathrm{m^{4}}, \quad c=0,025\\ \mathrm{m}.
Cálculo passo a passo:
\tau_{\text{adm}}\,J=(42\times10^{6})\cdot(6{,}136\times10^{-7})\approx25{,}7712\\ \mathrm{N\cdot m}.
T_{\tau}=\frac{25{,}7712}{0{,}025}\approx1{,}030{,}85\times10^{3}\\ \mathrm{N\cdot m}.
Portanto o limite pela tensão é aproximadamente T_{\tau}\approx1{,}03\times10^{3}\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 5

Determinar o torque limite imposto pelo ângulo de torção.
Primeiro converter o ângulo admissível para radianos:
\theta_{\text{adm}}=2{,}5^\circ=\frac{2{,}5\pi}{180}\\ \mathrm{rad}\approx0{,}043633\\ \mathrm{rad}.
Usamos \theta=\dfrac{T\,L}{J\,G}. Isolando T:
T_{\theta}=\frac{\theta_{\text{adm}}\,J\,G}{L}.
Substituindo:
G=80\\ \mathrm{GPa}=80\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}, \quad L=1{,}2\\ \mathrm{m}, \quad J\approx6{,}136\times10^{-7}\\ \mathrm{m^{4}}.
Cálculo passo a passo:
J\,G=(6{,}136\times10^{-7})\cdot(80\times10^{9})\approx4{,}9088\times10^{4}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}}.
\theta_{\text{adm}}\,J\,G\approx0{,}043633\cdot4{,}9088\times10^{4}\approx2{,}141{,}9\times10^{3}\\ \mathrm{N\cdot m}.
T_{\theta}=\frac{2{,}141{,}9\times10^{3}}{1{,}2}\approx1{,}784{,}9\times10^{3}\\ \mathrm{N\cdot m}.
Portanto o limite pelo ângulo é aproximadamente T_{\theta}\approx1{,}78\times10^{3}\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 6

Comparação e conclusão (sem repetir o resultado final num passo isolado):
  • O torque admissível imposto pela tensão é T_{\tau}\approx1{,}03\times10^{3}\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • O torque admissível imposto pelo ângulo é T_{\theta}\approx1{,}78\times10^{3}\\ \mathrm{N\cdot m}.
Como ambos os critérios devem ser satisfeitos, o torque máximo permitido será o menor desses dois limites (o que restringe mais).
Força final: foco no critério de cisalhamento, que é o mais restritivo neste caso.

Resposta

T_{\max}=1{,}03\times10^{3}\\ \mathrm{N\cdot m}

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