QUESTÃO 15: Considere um eixo sólido de diâmetro 36 mm . Caso se construa um eixo vazado, com mesma área de seção transversal do eixo sólido, onde o raio externo é o dobro do raio interno - qual dos dois consegue suportar um esforço de torção T maior?
Passo 1
O enunciado dá:
- Um eixo sólido de diâmetro
. Portanto o raio do eixo sólido é . - Quer-se construir um eixo vazado com a mesma área de seção transversal do eixo sólido.
- No eixo vazado o raio externo é o dobro do raio interno, ou seja
.
A pergunta é: qual dos dois eixos consegue suportar um esforço de torção
maior?
Passo 2
Conceito fundamental de torção que usaremos (aula rápida e direta):
- A tensão de cisalhamento máxima em uma seção circular submetida a um torque
é dada por
onde:
-
é a tensão de cisalhamento máxima (no material), -
é o torque aplicado, -
é a distância do centro até a fibra mais externa (ou seja o raio externo da seção), -
é o momento polar de inércia da seção (também chamado de momento polar segundo a resistência à torção).
Se o material e a tensão admissível
são os mesmos para os dois eixos, o maior torque que cada eixo suporta antes de atingir
é
Portanto, para comparar a capacidade torsional dos dois eixos (mesmo material), basta comparar o valor de
de cada um.
Passo 3
Momentos polares para seções circulares (fórmulas importantes — aula curta):
- Para um eixo sólido de raio
:
- Para um eixo vazado (anel) com raio externo
e interno :
No sólido o
é
. No vazado o
é
.
Calculemos
para cada caso em termos dos respectivos raios.
Passo 4
Eixo sólido:
Passo 5
Eixo vazado:
Como o enunciado diz
, então
e
Logo
Passo 6
Como as áreas das seções são iguais, equacione-as para relacionar
e
:
Com
temos
. Assim
Passo 7
Escrevendo
em função de
:
Agora compare as duas quantidades dividindo:
Calcule numérico:
Passo 8
Breve checagem numérica com os valores dados (confirmação):
-
. - A partir de
obtém-se e . - Se calcular
numericamente para cada um obtém-se a razão , confirmando o resultado algébrico.
Resposta
O eixo vazado suporta maior torque:
(ou seja, cerca de
a mais).