QUESTÃO 15: Considere um eixo sólido de diâmetro 36 mm . Caso se construa um eixo vazado, com mesma área de seção transversal do eixo sólido, onde o raio externo é o dobro do raio interno - qual dos dois consegue suportar um esforço de torção T maior?

Passo 1

O enunciado dá:
  • Um eixo sólido de diâmetro 36\\ \text{mm}. Portanto o raio do eixo sólido é R_s=18\\ \text{mm}.
  • Quer-se construir um eixo vazado com a mesma área de seção transversal do eixo sólido.
  • No eixo vazado o raio externo é o dobro do raio interno, ou seja R_o=2R_i.
A pergunta é: qual dos dois eixos consegue suportar um esforço de torção T maior?

Passo 2

Conceito fundamental de torção que usaremos (aula rápida e direta):
  • A tensão de cisalhamento máxima em uma seção circular submetida a um torque T é dada por
\tau_{\max}=\dfrac{T\,c}{J},
onde:
  • \tau_{\max} é a tensão de cisalhamento máxima (no material),
  • T é o torque aplicado,
  • c é a distância do centro até a fibra mais externa (ou seja o raio externo da seção),
  • J é o momento polar de inércia da seção (também chamado de momento polar segundo a resistência à torção).
Se o material e a tensão admissível \tau_{\mathrm{adm}} são os mesmos para os dois eixos, o maior torque que cada eixo suporta antes de atingir \tau_{\mathrm{adm}} é
T_{\max}=\tau_{\mathrm{adm}}\cdot\dfrac{J}{c}.
Portanto, para comparar a capacidade torsional dos dois eixos (mesmo material), basta comparar o valor de \dfrac{J}{c} de cada um.

Passo 3

Momentos polares para seções circulares (fórmulas importantes — aula curta):
  • Para um eixo sólido de raio R:
J_{\text{sól}}=\dfrac{\pi R^{4}}{2}.ó
  • Para um eixo vazado (anel) com raio externo R_o e interno R_i:
J_{\text{vaz}}=\dfrac{\pi}{2}\bigl(R_o^{4}-R_i^{4}\bigr).
No sólido o c é R_s. No vazado o c é R_o.
Calculemos \dfrac{J}{c} para cada caso em termos dos respectivos raios.

Passo 4

Eixo sólido:
\left(\dfrac{J}{c}\right)_{\text{sól}}=\dfrac{J_{\text{sól}}}{R_s} =\dfrac{\dfrac{\pi R_s^{4}}{2}}{R_s} =\dfrac{\pi}{2}R_s^{3}.óó

Passo 5

Eixo vazado:
\left(\dfrac{J}{c}\right)_{\text{vaz}}=\dfrac{J_{\text{vaz}}}{R_o} =\dfrac{\dfrac{\pi}{2}\bigl(R_o^{4}-R_i^{4}\bigr)}{R_o} =\dfrac{\pi}{2}R_o^{3}\left(1-\left(\dfrac{R_i}{R_o}\right)^{4}\right).
Como o enunciado diz R_o=2R_i, então \dfrac{R_i}{R_o}=\dfrac{1}{2} e
1-\left(\dfrac{R_i}{R_o}\right)^{4}=1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{4}=1-\dfrac{1}{16}=\dfrac{15}{16}.
Logo
\left(\dfrac{J}{c}\right)_{\text{vaz}}=\dfrac{\pi}{2}R_o^{3}\cdot\dfrac{15}{16}=\dfrac{15\pi}{32}R_o^{3}.

Passo 6

Como as áreas das seções são iguais, equacione-as para relacionar R_s e R_o:
\pi R_s^{2}=\pi\bigl(R_o^{2}-R_i^{2}\bigr)=\pi R_o^{2}\left(1-\left(\tfrac{R_i}{R_o}\right)^{2}\right).
Com \tfrac{R_i}{R_o}=\tfrac{1}{2} temos 1-(1/2)^{2}=1-\tfrac{1}{4}=\tfrac{3}{4}. Assim
R_s^{2}=R_o^{2}\cdot\dfrac{3}{4}\quad\Rightarrow\quad R_s=R_o\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 7

Escrevendo \left(\dfrac{J}{c}\right)_{\text{sól}}ó em função de R_o:
\left(\dfrac{J}{c}\right)_{\text{sól}} =\dfrac{\pi}{2}R_s^{3} =\dfrac{\pi}{2}\left(R_o\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{3} =\dfrac{\pi}{2}R_o^{3}\cdot\dfrac{3\sqrt{3}}{8} =\dfrac{3\sqrt{3}\,\pi}{16}R_o^{3}.ó
Agora compare as duas quantidades dividindo:
\frac{T_{\max,\text{vaz}}}{T_{\max,\text{sól}}} =\frac{\left(\dfrac{J}{c}\right)_{\text{vaz}}}{\left(\dfrac{J}{c}\right)_{\text{sól}}} =\frac{\dfrac{15\pi}{32}R_o^{3}}{\dfrac{3\sqrt{3}\,\pi}{16}R_o^{3}} =\frac{15}{32}\cdot\frac{16}{3\sqrt{3}} =\frac{15}{2}\cdot\frac{1}{3\sqrt{3}} =\frac{5}{2\sqrt{3}}.óó
Calcule numérico:
\frac{5}{2\sqrt{3}}\approx 1,443\quad\Rightarrow\quad\text{o eixo vazado aceita cerca de }44,3\%\text{ a mais de torque}.

Passo 8

Breve checagem numérica com os valores dados (confirmação):
  • R_s=18\\ \text{mm}.
  • A partir de R_s^{2}= \tfrac{3}{4}R_o^{2} obtém-se R_o\approx20,785\\ \text{mm} e R_i=R_o/2\approx10,392\\ \text{mm}.
  • Se calcular J/c numericamente para cada um obtém-se a razão \approx1,443, confirmando o resultado algébrico.

Resposta

O eixo vazado suporta maior torque: T_{\text{vaz}}/T_{\text{sól}}=\dfrac{5}{2\sqrt{3}}\approx1,443ó (ou seja, cerca de 44,3\% a mais).

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