Questão 12 (Propriedade Arquimediana). Prove que o conjunto dos números racionais possui a propriedade arquimediana: para qualquer número racional x, existe um número inteiro n \in \mathbb{Z} tal que n>x.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que se tem:
  • Pede-se provar que o conjunto dos racionais tem a propriedade arquimediana, isto é: para qualquer racional x existe um inteiro n\in\mathbb{Z} tal que n>x.
  • Informação dada: x é um número racional arbitrário. Então posso escrever x como uma razão de inteiros: x=\dfrac{p}{q} com p\in\mathbb{Z} e q\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}.
    Objetivo explícito: a partir dessa escrita x=\dfrac{p}{q} construir (ou mostrar a existência de) um inteiro n tal que n>x.

Passo 2

Preparação técnica (padronizar o denominador):
Se o denominador q for negativo, multiplica-se numerador e denominador por -1 para obter uma escrita equivalente com denominador positivo. Assim podemos assumir sem perda de generalidade que q>0. Logo a partir de agora x=\dfrac{p}{q} com p\in\mathbb{Z} e q\in\mathbb{Z}_{>0}.

Passo 3

Usar o Teorema da Divisão Euclidiana (enunciado e ideia):
O Teorema da Divisão Euclidiana diz: para inteiros p e q>0 existem únicos inteiros s e r tais que
p = q s + r\quad\text{com}\quad 0 \le r < q.
Intuição curta: ao dividir p por q obtemos um quociente inteiro s e um resto r menor que q. Esse é um resultado básico sobre inteiros e usaremos diretamente.

Passo 4

Aplicar a divisão ao numerador p:
Pela divisão euclidiana existe s\in\mathbb{Z} e r\in\{0,1,\dots,q-1\} tais que
p = q s + r.
Dividindo ambos os lados por q obtemos
\frac{p}{q} = s + \frac{r}{q}.

Passo 5

Comparar x com s e s+1:
Como 0 \le r < q temos 0 \le \dfrac{r}{q} < 1. Portanto
s \le \frac{p}{q} < s+1,
isto é,
s \le x < s+1.

Passo 6

Escolher o inteiro n que serve para a propriedade:
Tomando n = s+1 (que é um inteiro, pois s\in\mathbb{Z}), obtemos exatamente
n = s+1 > x.
Assim para o racional arbitrário x foi exibido um inteiro n com n>x.

Passo 7

Observação final e encorajamento:
A prova é construtiva: dado x=\dfrac{p}{q} (com q>0) aplica-se a divisão euclidiana a p por q para obter p=q s + r e então n=s+1 funciona. Esse argumento vale para todo racional x, logo a propriedade arquimediana está provada.

Resposta

Para todo x\in\mathbb{Q} existe n\in\mathbb{Z} tal que n>x. (Por exemplo, se x=\dfrac{p}{q} com q>0 e p=q s + r pela divisão euclidiana, então n=s+1 satisfaz n>x.)

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