Questão 12 (Propriedade Arquimediana). Prove que o conjunto dos números racionais possui a propriedade arquimediana: para qualquer número racional
, existe um número inteiro
tal que
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que se tem:
- Pede-se provar que o conjunto dos racionais tem a propriedade arquimediana, isto é: para qualquer racional
existe um inteiro tal que . - Informação dada:
é um número racional arbitrário. Então posso escrever como uma razão de inteiros: com e .
Objetivo explícito: a partir dessa escritaconstruir (ou mostrar a existência de) um inteiro tal que .
Passo 2
Preparação técnica (padronizar o denominador):
Se o denominador for negativo, multiplica-se numerador e denominador por
para obter uma escrita equivalente com denominador positivo. Assim podemos assumir sem perda de generalidade que
. Logo a partir de agora
com
e
.
Se o denominador
Passo 3
Usar o Teorema da Divisão Euclidiana (enunciado e ideia):
O Teorema da Divisão Euclidiana diz: para inteiros e
existem únicos inteiros
e
tais que
O Teorema da Divisão Euclidiana diz: para inteiros
Intuição curta: ao dividir
por
obtemos um quociente inteiro
e um resto
menor que
. Esse é um resultado básico sobre inteiros e usaremos diretamente.
Passo 4
Aplicar a divisão ao numerador
:
Pela divisão euclidiana existe e
tais que
Pela divisão euclidiana existe
Dividindo ambos os lados por
obtemos
Passo 5
Comparar
com
e
:
Como temos
. Portanto
Como
isto é,
Passo 6
Escolher o inteiro
que serve para a propriedade:
Tomando (que é um inteiro, pois
), obtemos exatamente
Tomando
Assim para o racional arbitrário
foi exibido um inteiro
com
.
Passo 7
Observação final e encorajamento:
A prova é construtiva: dado (com
) aplica-se a divisão euclidiana a
por
para obter
e então
funciona. Esse argumento vale para todo racional
, logo a propriedade arquimediana está provada.
A prova é construtiva: dado
Resposta
Para todo
existe
tal que
. (Por exemplo, se
com
e
pela divisão euclidiana, então
satisfaz
.)