Questão 10 (Propriedades da Ordem). Prove as propriedades de ordem para os números racionais: Tricotomia, transitividade, preservação da ordem pela adição e preservação da ordem pela multiplicação por um racional não-negativo.
Passo 1
O enunciado pede para provar quatro propriedades da ordem no conjunto dos números racionais
:
- Tricotomia: para quaisquer
exatamente uma das alternativas , ou é verdadeira. - Transitividade: se
e então , para quaisquer . - Preservação da ordem pela adição: se
então para todo . - Preservação da ordem pela multiplicação por um racional não-negativo: se
e com , então , e se além disso então .
Informações e convenções que serão usadas (isto é o que o enunciado dá implicitamente):
- Um racional será escrito na forma
com e . Para evitar ambiguidade na ordem, adotamos representantes com denominador positivo: sempre escrever um racional como com . - A ordem entre racionais é definida por comparação de produtos cruzados: para
e com e definimos
usando a ordem já conhecida em
.
- Vamos usar propriedades básicas da ordem em
: tricotomia e transitividade na reta inteira, além de que multiplicar uma desigualdade por um inteiro positivo preserva a desigualdade, e somar igualdades/desigualdades funciona normalmente. - Antes de comparar duas frações, verificaremos que a definição por produto cruzado é bem-definida (independe dos representantes escolhidos).
A resolução começa a partir da próxima etapa.
Passo 2
Lema (bem-definido): se
e
com
, então
Prova do lema: das igualdades de frações temos
e
. Suponha
. Multiplicando ambos os lados por
(produto de inteiros positivos, portanto preserva desigualdade) obtemos
Reescrevendo usando as igualdades acima:
Agrupando os fatores de forma conveniente temos
Como
, podemos cancelar
(ou dividir por
) e concluir
. A implicação inversa é análoga. Assim a comparação por produtos cruzados é independente da escolha dos representantes (quando padronizamos denominadores positivos). Isso garante que a definição de
entre racionais é bem-definida.
Passo 3
Prova da Tricotomia: sejam
. Escolha representantes com denominadores positivos: escreva
e
com
e
. Compare os inteiros
e
. Pela tricotomia em
exatamente uma das opções é verdadeira:
Pelo modo como definimos a ordem em
(produtos cruzados), essas três alternativas correspondem exatamente a
respectivamente. Pelo lema de Passo 2 essa correspondência independe dos representantes escolhidos, logo para quaisquer
exatamente uma entre
,
,
vale. Assim a tricotomia para
está provada.
Passo 4
Prova da Transitividade: sejam
com
e
. Escolha representantes com denominadores positivos:
com
. As hipóteses dizem
Multiplicando a primeira desigualdade por
obtemos
. Multiplicando a segunda desigualdade por
obtemos
. Observando que
, juntamos as duas desigualdades para deduzir
Agora fatoramos
do lado esquerdo e
do lado direito para reescrever como
Dividindo (ou cancelando)
de ambos os lados (ou, mais diretamente, interpretando o que acabamos de obter como produto cruzado) concluímos
ou seja
. Isso prova a transitividade.
Passo 5
Prova da preservação da ordem pela adição: quer-se mostrar que, para quaisquer
,
Escreva
,
e
com
. Calculamos a diferença
Isso é uma identidade verdadeira em
; vamos mostrar isso em termos de numeradores: usando denominadores comuns podemos escrever
Fazendo a diferença com denominador comum
obtemos
Portanto o sinal de
é exatamente o sinal de
. Assim, se
(ou seja
) então
, logo
. Isso prova a preservação da ordem pela adição. Observação útil para prova na prova: a adição por
cancela.
Passo 6
Prova da preservação da ordem pela multiplicação por um racional não-negativo: seja
com
e sejam
com
. Queremos mostrar
, e se
então
.
Escreva
com
e
. A hipótese
significa
.
Caso
(ou seja
): então
, logo
e a desigualdade
é verdadeira (a desigualdade estrita não vale).
Caso
(ou seja
): multiplicando a desigualdade
pelos inteiros positivos
obtemos
Reagrupando fatores isso é equivalente a
Mas
é precisamente
e
é
quando se escreve cada produto como fração com denominador positivo. Assim
.
Portanto, resumindo: se
então
; se
então
. Em ambos os casos temos
. Isso conclui a prova da preservação da ordem por multiplicação por um racional não-negativo.
Passo 7
Breve recapitulação e observações finais (para fixar a intuição): todas as provas acima reduziram as comparações entre racionais a comparações entre inteiros via produtos cruzados, usando sempre representantes com denominadores positivos para evitar troca de sinal. Os passos essenciais foram: (i) garantir que a comparação é bem-definida (Passo 2), (ii) usar tricotomia e transitividade em
para obter as propriedades em
(Passos 3 e 4), (iii) observar que a adição cancela quando se adiciona o mesmo racional aos dois lados (Passo 5), e (iv) multiplicar desigualdades por inteiros positivos quando necessário para tratar multiplicação por racionais não-negativos (Passo 6). Pronto — as quatro propriedades pedidas foram demonstradas.
Resposta
Tricotomia: para quaisquer
exatamente uma das alternativas
,
ou
é verdadeira.
Transitividade: se
e
então
, para quaisquer
.
Preservação da ordem pela adição: se
então
para todo
.
Preservação da ordem pela multiplicação por um racional não-negativo: se
e
então
, e se
então
.