Questão 10 (Propriedades da Ordem). Prove as propriedades de ordem para os números racionais: Tricotomia, transitividade, preservação da ordem pela adição e preservação da ordem pela multiplicação por um racional não-negativo.

Passo 1

O enunciado pede para provar quatro propriedades da ordem no conjunto dos números racionais \mathbb{Q}:
  1. Tricotomia: para quaisquer x,y\in\mathbb{Q} exatamente uma das alternativas x<y, x=y ou x>y é verdadeira.
  2. Transitividade: se x<y e y<z então x<z, para quaisquer x,y,z\in\mathbb{Q}.
  3. Preservação da ordem pela adição: se x<y então x+z<y+z para todo z\in\mathbb{Q}.
  4. Preservação da ordem pela multiplicação por um racional não-negativo: se x<y e t\in\mathbb{Q} com t\ge 0, então tx\le ty, e se além disso t>0 então tx<ty.
Informações e convenções que serão usadas (isto é o que o enunciado dá implicitamente):
  • Um racional será escrito na forma \dfrac{p}{q} com p\in\mathbb{Z} e q\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}. Para evitar ambiguidade na ordem, adotamos representantes com denominador positivo: sempre escrever um racional como \dfrac{p}{q} com q>0.
  • A ordem entre racionais é definida por comparação de produtos cruzados: para \dfrac{p}{q} e \dfrac{r}{s} com q>0 e s>0 definimos
\frac{p}{q}<\frac{r}{s}\quad\Longleftrightarrow\quad ps<rq,
usando a ordem já conhecida em \mathbb{Z}.
  • Vamos usar propriedades básicas da ordem em \mathbb{Z}: tricotomia e transitividade na reta inteira, além de que multiplicar uma desigualdade por um inteiro positivo preserva a desigualdade, e somar igualdades/desigualdades funciona normalmente.
  • Antes de comparar duas frações, verificaremos que a definição por produto cruzado é bem-definida (independe dos representantes escolhidos).
A resolução começa a partir da próxima etapa.

Passo 2

Lema (bem-definido): se \dfrac{p}{q}=\dfrac{p'}{q'} e \dfrac{r}{s}=\dfrac{r'}{s'} com q,q',s,s'>0, então
ps<rq \iff p's'<r'q'.
Prova do lema: das igualdades de frações temos p q' = p' q e r s' = r' s. Suponha ps<rq. Multiplicando ambos os lados por q'q s' (produto de inteiros positivos, portanto preserva desigualdade) obtemos
ps\cdot q' s' < rq\cdot q' s'.
Reescrevendo usando as igualdades acima:
(pq') (s s') < (r s') (q q') \quad\Longrightarrow\quad (p' q)(s s') < (r' s)(q q').
Agrupando os fatores de forma conveniente temos
p' s' \cdot (q s) < r' q' \cdot (q s).
Como q s>0, podemos cancelar q s (ou dividir por q s) e concluir p's' < r'q'. A implicação inversa é análoga. Assim a comparação por produtos cruzados é independente da escolha dos representantes (quando padronizamos denominadores positivos). Isso garante que a definição de < entre racionais é bem-definida.

Passo 3

Prova da Tricotomia: sejam x,y\in\mathbb{Q}. Escolha representantes com denominadores positivos: escreva x=\dfrac{p}{q} e y=\dfrac{r}{s} com q>0 e s>0. Compare os inteiros ps e rq. Pela tricotomia em \mathbb{Z} exatamente uma das opções é verdadeira:
ps<rq,\qquad ps=rq,\qquad ps>rq.
Pelo modo como definimos a ordem em \mathbb{Q} (produtos cruzados), essas três alternativas correspondem exatamente a
\frac{p}{q}<\frac{r}{s},\qquad \frac{p}{q}=\frac{r}{s},\qquad \frac{p}{q}>\frac{r}{s},
respectivamente. Pelo lema de Passo 2 essa correspondência independe dos representantes escolhidos, logo para quaisquer x,y\in\mathbb{Q} exatamente uma entre x<y, x=y, x>y vale. Assim a tricotomia para \mathbb{Q} está provada.

Passo 4

Prova da Transitividade: sejam x,y,z\in\mathbb{Q} com x<y e y<z. Escolha representantes com denominadores positivos:
x=\frac{p}{q},\qquad y=\frac{r}{s},\qquad z=\frac{u}{v},
com q,s,v>0. As hipóteses dizem
ps<rq\qquad\text{e}\qquad rv<us.
Multiplicando a primeira desigualdade por v>0 obtemos psv < rqv. Multiplicando a segunda desigualdade por q>0 obtemos rvq < usq. Observando que rqv = rvq, juntamos as duas desigualdades para deduzir
psv < usq.
Agora fatoramos v do lado esquerdo e q do lado direito para reescrever como
v(ps) < q(us) \quad\Longrightarrow\quad p v s < u s q.
Dividindo (ou cancelando) s v q>0 de ambos os lados (ou, mais diretamente, interpretando o que acabamos de obter como produto cruzado) concluímos
\frac{p}{q} < \frac{u}{v},
ou seja x<z. Isso prova a transitividade.

Passo 5

Prova da preservação da ordem pela adição: quer-se mostrar que, para quaisquer x,y,z\in\mathbb{Q},
x<y\quad\Longrightarrow\quad x+z<y+z.
Escreva x=\dfrac{p}{q}, y=\dfrac{r}{s} e z=\dfrac{u}{v} com q,s,v>0. Calculamos a diferença
(x+z)-(y+z) = x-y.
Isso é uma identidade verdadeira em \mathbb{Q}; vamos mostrar isso em termos de numeradores: usando denominadores comuns podemos escrever
x+z=\frac{pv+uq}{qv},\qquad y+z=\frac{rv+us}{sv}.
Fazendo a diferença com denominador comum q s v obtemos
(x+z)-(y+z)=\frac{(pv+uq) s - (rv+us) q}{q s v} = \frac{v(ps - rq)}{q s v} = \frac{ps-rq}{q s}=x-y.
Portanto o sinal de (x+z)-(y+z) é exatamente o sinal de x-y. Assim, se x<y (ou seja x-y<0) então (x+z)-(y+z)<0, logo x+z<y+z. Isso prova a preservação da ordem pela adição. Observação útil para prova na prova: a adição por z cancela.

Passo 6

Prova da preservação da ordem pela multiplicação por um racional não-negativo: seja t\in\mathbb{Q} com t\ge 0 e sejam x,y\in\mathbb{Q} com x<y. Queremos mostrar tx\le ty, e se t>0 então tx<ty.
Escreva
x=\frac{p}{q},\qquad y=\frac{r}{s},\qquad t=\frac{a}{b},
com q,s,b>0 e a\ge 0. A hipótese x<y significa ps<rq.
Caso a=0 (ou seja t=0): então tx=ty=0, logo tx=ty e a desigualdade tx\le ty é verdadeira (a desigualdade estrita não vale).
Caso a>0 (ou seja t>0): multiplicando a desigualdade ps<rq pelos inteiros positivos ab>0 obtemos
ab\cdot ps < ab\cdot rq.
Reagrupando fatores isso é equivalente a
(ap)(bs) < (ar)(bq).
Mas (ap)/(bq) é precisamente t x e (ar)/(bs) é t y quando se escreve cada produto como fração com denominador positivo. Assim tx<ty.
Portanto, resumindo: se t=0 então tx=ty; se t>0 então x<y\Rightarrow tx<ty. Em ambos os casos temos x<y\Rightarrow tx\le ty. Isso conclui a prova da preservação da ordem por multiplicação por um racional não-negativo.

Passo 7

Breve recapitulação e observações finais (para fixar a intuição): todas as provas acima reduziram as comparações entre racionais a comparações entre inteiros via produtos cruzados, usando sempre representantes com denominadores positivos para evitar troca de sinal. Os passos essenciais foram: (i) garantir que a comparação é bem-definida (Passo 2), (ii) usar tricotomia e transitividade em \mathbb{Z} para obter as propriedades em \mathbb{Q} (Passos 3 e 4), (iii) observar que a adição cancela quando se adiciona o mesmo racional aos dois lados (Passo 5), e (iv) multiplicar desigualdades por inteiros positivos quando necessário para tratar multiplicação por racionais não-negativos (Passo 6). Pronto — as quatro propriedades pedidas foram demonstradas.

Resposta

Tricotomia: para quaisquer x,y\in\mathbb{Q} exatamente uma das alternativas x<y, x=y ou x>y é verdadeira.
Transitividade: se x<y e y<z então x<z, para quaisquer x,y,z\in\mathbb{Q}.
Preservação da ordem pela adição: se x<y então x+z<y+z para todo z\in\mathbb{Q}.
Preservação da ordem pela multiplicação por um racional não-negativo: se t\in\mathbb{Q} e t\ge 0 então x<y\Rightarrow tx\le ty, e se t>0 então x<y\Rightarrow tx<ty.

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