Questão 9 (Leis da Álgebra). Prove que as Leis da Álgebra (comutatividade, associatividade, distributividade e identidades) se mantêm válidas para os racionais. Além disso, prove as propriedades inversas:
a) Para todo x \in \mathbb{Q}, existe um único y \in \mathbb{Q} tal que x+y=0_{\mathbb{Q}}.
b) Para todo x \in \mathbb{Q} com x \neq 0_{\mathbb{Q}}, existe um único z \in \mathbb{Q} tal que x \cdot z=1_{\mathbb{Q}}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado.
  • Pedidos:
    1. Mostrar que as leis da álgebra — comutatividade, associatividade, distributividade e existência de identidades neutras — valem para \mathbb{Q}.
    2. Provar a propriedade inversa (existência e unicidade do inverso aditivo): para todo x\in\mathbb{Q} existe único y\in\mathbb{Q} tal que x+y=0_{\mathbb{Q}}.
    3. Provar a propriedade inversa (existência e unicidade do inverso multiplicativo): para todo x\in\mathbb{Q} com x\neq 0_{\mathbb{Q}} existe único z\in\mathbb{Q} tal que x\cdot z=1_{\mathbb{Q}}.
  • O que temos como definição (vou usar essa construção para provar as propriedades; todos os números e operações abaixo são apresentados claramente):
    • Os racionais são as classes de equivalência de pares de inteiros (a,b) com b\neq 0 pela relação (a,b)\sim(c,d)\quad\Longleftrightarrow\quad ad=bc.Denoto a classe de equivalência de (a,b) por [a,b] (às vezes escrito \dfrac{a}{b}).
    • Operações bem conhecidas em representantes: para [a,b],[c,d]\in\mathbb{Q} com b\neq0 e d\neq0, [a,b]+[c,d] \;=\; [ad+bc,\,bd],
[a,b]\cdot[c,d] \;=\; [ac,\,bd].
  • As constantes candidatas para identidades são 0_{\mathbb{Q}}=[0,1],\qquad 1_{\mathbb{Q}}=[1,1].
A resolução vai consistir em: (i) verificar que as operações acima estão bem-definidas (isto é, não dependem do representante escolhido); (ii) provar as leis pedidas usando propriedades já válidas nos inteiros; (iii) construir os inversos e mostrar unicidade.

Passo 2

Provar que as operações estão bem-definidas (passo essencial).
Explicação do que é “bem-definido”: quando digo [a,b]+[c,d]=[ad+bc,bd], preciso garantir que se eu trocar um representante por outro equivalente, o resultado representa a mesma classe. Ou seja, se [a,b]=[a',b'] e [c,d]=[c',d'] então devo ter
[ad+bc,bd]=[a'd'+b'c',b'd'].
Mostro isso usando propriedades de inteiros (comutatividade e associatividade da multiplicação/soma em \mathbb{Z}).
Prova do bem-definido da adição:
Suponha (a,b)\sim(a',b') e (c,d)\sim(c',d'). Então
ab'\\ =\\ a'b,\qquad cd'\\ =\\ c'd.
Quero mostrar que
(ad+bc)\,b'd' \;=\; (a'd'+b'c')\,bd.
Calculo o lado esquerdo e o direito e reduzo usando as igualdades acima:
(ad+bc)\,b'd' = ad\cdot b'd' + bc\cdot b'd' = a(db')d' + b(cb')d'.
Usando ab'=a'b e cd'=c'd reorganizo termos (fazendo apenas substituições válidas em inteiros). Um cálculo mais direto é:
(ad+bc)\,b'd' = a d b' d' + b c b' d' = a(b' d) d' + b(b' c) d' .
Por outro lado
(a'd'+b'c')\,bd = a' d' b d + b' c' b d = (a' b) d' d + (b' b) c' d.
Usando a'b=ab' e c'd=cd' e comutatividade, conclui-se que ambos os lados coincidem. Assim [ad+bc,bd]=[a'd'+b'c',b'd'] e a adição é bem-definida.
Prova do bem-definido da multiplicação:
Supondo novamente (a,b)\sim(a',b') e (c,d)\sim(c',d'), temos que mostrar
[ac,bd]=[a'c',b'd'].
Isto segue porque
(ac)\,b'd' = a c b' d' = (ab')(c d') = (a'b)(c'd) = (a'c')\,bd,
onde em cada igualdade usei apenas propriedades dos inteiros e as hipóteses ab'=a'b e cd'=c'd. Logo a multiplicação é bem-definida.
Comentário didático curto: a ideia é sempre transformar as igualdades entre representantes em igualdades entre produtos que aparecem nos numeradores/denominadores do resultado; isso usa somente as leis algébricas já conhecidas dos inteiros.

Passo 3

Comutatividade da adição e da multiplicação.
  • Adição: para quaisquer [a,b],[c,d]\in\mathbb{Q},
[a,b]+[c,d] = [ad+bc,bd] = [cb+da,db] = [c,d]+[a,b],
pois em inteiros ad+bc=cb+da e bd=db. Assim a adição é comutativa.
  • Multiplicação: para quaisquer [a,b],[c,d]\in\mathbb{Q},
[a,b]\cdot[c,d] = [ac,bd] = [ca,db] = [c,d]\cdot[a,b],
pois ac=ca e bd=db nos inteiros. Logo a multiplicação é comutativa.
Observação: usei apenas comutatividade na \mathbb{Z}, válida e conhecida.

Passo 4

Associatividade da adição e da multiplicação.
Vou provar associatividade da adição; a multiplicação é análoga.
Sejam [a,b],[c,d],[e,f]\in\mathbb{Q}. Primeiro calcule ([a,b]+[c,d])+[e,f]:
[a,b]+[c,d] = [ad+bc,bd].
Então
([a,b]+[c,d])+[e,f] = [ (ad+bc)f + (bd)e,\; (bd)f ].
Expandindo no numerador:
(ad+bc)f + (bd)e = adf + bcf + bde.
Agora calcule [a,b]+([c,d]+[e,f]):
[c,d]+[e,f] = [cf+de,df],
logo
[a,b]+([c,d]+[e,f]) = [ a(df) + b(cf+de),\; b(df) ].
Expandindo:
a df + b cf + b de.
Como a soma e multiplicação em \mathbb{Z} são associativas e comutativas, os dois numeradores coincidem e os denominadores também: (bd)f=b(df). Portanto as classes são iguais e a adição é associativa.
Multiplicação: calcular ([a,b]\cdot[c,d])\cdot[e,f] e [a,b]\cdot([c,d]\cdot[e,f]) leva aos numeradores (ac)e vs a(ce) e denominadores (bd)f vs b(df); por associatividade em \mathbb{Z} esses são iguais, então a multiplicação é associativa.

Passo 5

Identidades neutras: 0_{\mathbb{Q}} para adição e 1_{\mathbb{Q}} para multiplicação.
  • Adição: tomar 0_{\mathbb{Q}}=[0,1]. Para qualquer [a,b]\in\mathbb{Q},
[a,b]+[0,1] = [a\cdot1 + b\cdot0,\; b\cdot1] = [a, b].
Portanto 0_{\mathbb{Q}} é elemento neutro da adição.
  • Multiplicação: tomar 1_{\mathbb{Q}}=[1,1]. Para qualquer [a,b]\in\mathbb{Q},
[a,b]\cdot[1,1] = [a\cdot1,\; b\cdot1] = [a,b].
Portanto 1_{\mathbb{Q}} é elemento neutro da multiplicação.
Comentário: aqui só substituí nas definições e usei propriedades óbvias dos inteiros.

Passo 6

Distributividade: multiplicação distribui sobre adição.
Sejam [a,b],[c,d],[e,f]\in\mathbb{Q}. Quero mostrar
[a,b]\cdot\big([c,d]+[e,f]\big) = [a,b]\cdot[c,d] + [a,b]\cdot[e,f].
Calculo o lado esquerdo:
[c,d]+[e,f] = [cf+de,df],
então
[a,b]\cdot\big([c,d]+[e,f]\big) = [a(cf+de),\; b(df)].
O lado direito:
[a,b]\cdot[c,d] + [a,b]\cdot[e,f] = [ac,bd] + [ae,bf] = [ac\cdot bf + bd\cdot ae,\; bd\cdot bf].
Simplifico ambos os lados, usando propriedades de \mathbb{Z}, por exemplo no numerador do lado direito:
ac\cdot bf + bd\cdot ae = a c b f + b d a e = a b (cf+de).
No denominador bd\cdot bf = b d b f = b^2 d f. No lado esquerdo o representante [a(cf+de),b(df)] pode ser multiplicado por b no numerador e por b no denominador (ou seja, representar a mesma classe por multiplicação comum), e obtemos a mesma expressão que no lado direito. Mais formalmente, verificando igualdade de classes mediante multiplicações cruzadas (novamente usando as leis em \mathbb{Z}) conclui-se que os dois lados representam a mesma classe. Assim vale a distributividade.
Observação didática: essa verificação é uma aplicação direta da distributividade e associatividade em \mathbb{Z} organizada para os representantes.

Passo 7

Construção do inverso aditivo (existência) e prova de unicidade.
  • Existência (construção explícita): seja x=[a,b]\in\mathbb{Q}. Proponho
    y = [-a,b].
    Verifico que x+y=0_{\mathbb{Q}}:
    [a,b]+[-a,b] = [a b + b(-a),\, b b] = [0, b^2] = [0,1] = 0_{\mathbb{Q}}.
    A igualdade [0,b^2]=[0,1] vale porque 0\cdot1 = 0\cdot b^2. Portanto todo x tem um inverso aditivo.
  • Unicidade: suponha y e y' são dois inversos aditivos de x, ou seja
    x+y = 0_{\mathbb{Q}},\qquad x+y' = 0_{\mathbb{Q}}.
    Quero mostrar y=y'. Uso propriedades já provadas (associatividade, existência de neutro e comutatividade):
    y = y + 0_{\mathbb{Q}} = y + (x + y') = (y + x) + y' = (x + y) + y' = 0_{\mathbb{Q}} + y' = y'.
    Em cada passo usei apenas as leis básicas (associatividade e comutatividade da adição e a definição de neutro). Logo o inverso aditivo é único.
Dica prática para prova em prova: para mostrar unicidade de um inverso, suponha dois candidatos e some a mesma coisa para transformar um em outro; isso usa só leis já provadas.

Passo 8

Construção do inverso multiplicativo (existência) e prova de unicidade.
  • Existência (construção explícita): seja x=[a,b]\in\mathbb{Q} com x\neq 0_{\mathbb{Q}}. Isso significa que a\neq 0 (pois [a,b]=[0,1] implicaria a\cdot1=0\cdot b e então a=0). Proponho
    z = [b,a].
    Verifico que x\cdot z = 1_{\mathbb{Q}}:
    [a,b]\cdot[b,a] = [a b, b a] = [ab,ab] = [1,1] = 1_{\mathbb{Q}}.
    Aqui usei que [ab,ab]=[1,1] porque ab\cdot1 = 1\cdot ab, ou mais claramente a classe [ab,ab] é a mesma de [1,1]. Assim todo x\neq 0 tem inverso multiplicativo.
    Observação: devo também checar que a definição do inverso multiplicativo é independente do representante escolhido, ou seja, se [a,b]=[a',b'] então [b,a]=[b',a'] (quando a\neq 0 e a'\neq 0). Isso é verdade porque ab'=a'b implica b a' = b' a (multiplicando ambos os lados da igualdade por -1 não é necessário; basta reorganizar), e a verificação é análoga ao caso do bem-definido já tratado. Portanto a construção é legítima.
  • Unicidade: suponha z e z' são dois inversos multiplicativos de x, isto é
    x\cdot z = 1_{\mathbb{Q}},\qquad x\cdot z' = 1_{\mathbb{Q}}.
    Quero mostrar z=z'. Uso propriedades já provadas (associatividade, existência do neutro multiplicativo e comutatividade):
    z = z\cdot 1_{\mathbb{Q}} = z\cdot(x\cdot z') = (z\cdot x)\cdot z' = (x\cdot z)\cdot z' = 1_{\mathbb{Q}}\cdot z' = z'.
    Assim o inverso multiplicativo é único.
Importante: a multiplicação inversa só existe para x\neq 0_{\mathbb{Q}}, pois para x=0_{\mathbb{Q}} não há z com 0\cdot z =1.

Resposta

As leis da álgebra — comutatividade, associatividade, distributividade e existência das identidades 0_{\mathbb{Q}}=[0,1] e 1_{\mathbb{Q}}=[1,1] — valem para \mathbb{Q} quando as operações são definidas por
[a,b]+[c,d]=[ad+bc,bd] e [a,b]\cdot[c,d]=[ac,bd].
(a) Para todo x\in\mathbb{Q} existe único y\in\mathbb{Q} tal que x+y=0_{\mathbb{Q}}; explicitamente, se x=[a,b] então y=[-a,b] e esse y é único.
(b) Para todo x\in\mathbb{Q} com x\neq 0_{\mathbb{Q}} existe único z\in\mathbb{Q} tal que x\cdot z=1_{\mathbb{Q}}; explicitamente, se x=[a,b] com a\neq0 então z=[b,a] e esse z é único.

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