Questão 9 (Leis da Álgebra). Prove que as Leis da Álgebra (comutatividade, associatividade, distributividade e identidades) se mantêm válidas para os racionais. Além disso, prove as propriedades inversas:
a) Para todo
, existe um único
tal que
.
b) Para todo
com
, existe um único
tal que
.
a) Para todo
b) Para todo
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado.
-
Pedidos:
- Mostrar que as leis da álgebra — comutatividade, associatividade, distributividade e existência de identidades neutras — valem para
. - Provar a propriedade inversa (existência e unicidade do inverso aditivo): para todo
existe único tal que . - Provar a propriedade inversa (existência e unicidade do inverso multiplicativo): para todo
com existe único tal que .
- Mostrar que as leis da álgebra — comutatividade, associatividade, distributividade e existência de identidades neutras — valem para
-
O que temos como definição (vou usar essa construção para provar as propriedades; todos os números e operações abaixo são apresentados claramente):
- Os racionais são as classes de equivalência de pares de inteiros
com pela relação Denoto a classe de equivalência de por (às vezes escrito ). - Operações bem conhecidas em representantes: para
com e ,
- Os racionais são as classes de equivalência de pares de inteiros
- As constantes candidatas para identidades são
A resolução vai consistir em: (i) verificar que as operações acima estão bem-definidas (isto é, não dependem do representante escolhido); (ii) provar as leis pedidas usando propriedades já válidas nos inteiros; (iii) construir os inversos e mostrar unicidade.
Passo 2
Provar que as operações estão bem-definidas (passo essencial).
Explicação do que é “bem-definido”: quando digo
, preciso garantir que se eu trocar um representante por outro equivalente, o resultado representa a mesma classe. Ou seja, se
e
então devo ter
Mostro isso usando propriedades de inteiros (comutatividade e associatividade da multiplicação/soma em
).
Prova do bem-definido da adição:
Suponha e
. Então
Suponha
Quero mostrar que
Calculo o lado esquerdo e o direito e reduzo usando as igualdades acima:
Usando
e
reorganizo termos (fazendo apenas substituições válidas em inteiros). Um cálculo mais direto é:
Por outro lado
Usando
e
e comutatividade, conclui-se que ambos os lados coincidem. Assim
e a adição é bem-definida.
Prova do bem-definido da multiplicação:
Supondo novamente e
, temos que mostrar
Supondo novamente
Isto segue porque
onde em cada igualdade usei apenas propriedades dos inteiros e as hipóteses
e
. Logo a multiplicação é bem-definida.
Comentário didático curto: a ideia é sempre transformar as igualdades entre representantes em igualdades entre produtos que aparecem nos numeradores/denominadores do resultado; isso usa somente as leis algébricas já conhecidas dos inteiros.
Passo 3
Comutatividade da adição e da multiplicação.
- Adição: para quaisquer
,
pois em inteiros
e
. Assim a adição é comutativa.
- Multiplicação: para quaisquer
,
pois
e
nos inteiros. Logo a multiplicação é comutativa.
Observação: usei apenas comutatividade na
, válida e conhecida.
Passo 4
Associatividade da adição e da multiplicação.
Vou provar associatividade da adição; a multiplicação é análoga.
Sejam
. Primeiro calcule
:
Então
Expandindo no numerador:
Agora calcule
:
logo
Expandindo:
Como a soma e multiplicação em
são associativas e comutativas, os dois numeradores coincidem e os denominadores também:
. Portanto as classes são iguais e a adição é associativa.
Multiplicação: calcular
e
leva aos numeradores
vs
e denominadores
vs
; por associatividade em
esses são iguais, então a multiplicação é associativa.
Passo 5
Identidades neutras:
para adição e
para multiplicação.
- Adição: tomar
. Para qualquer ,
Portanto
é elemento neutro da adição.
- Multiplicação: tomar
. Para qualquer ,
Portanto
é elemento neutro da multiplicação.
Comentário: aqui só substituí nas definições e usei propriedades óbvias dos inteiros.
Passo 6
Distributividade: multiplicação distribui sobre adição.
Sejam
. Quero mostrar
Calculo o lado esquerdo:
então
O lado direito:
Simplifico ambos os lados, usando propriedades de
, por exemplo no numerador do lado direito:
No denominador
. No lado esquerdo o representante
pode ser multiplicado por
no numerador e por
no denominador (ou seja, representar a mesma classe por multiplicação comum), e obtemos a mesma expressão que no lado direito. Mais formalmente, verificando igualdade de classes mediante multiplicações cruzadas (novamente usando as leis em
) conclui-se que os dois lados representam a mesma classe. Assim vale a distributividade.
Observação didática: essa verificação é uma aplicação direta da distributividade e associatividade em
organizada para os representantes.
Passo 7
Construção do inverso aditivo (existência) e prova de unicidade.
-
Existência (construção explícita): seja
. Proponho Verifico que: A igualdadevale porque . Portanto todo tem um inverso aditivo. -
Unicidade: suponha
e são dois inversos aditivos de , ou seja Quero mostrar. Uso propriedades já provadas (associatividade, existência de neutro e comutatividade): Em cada passo usei apenas as leis básicas (associatividade e comutatividade da adição e a definição de neutro). Logo o inverso aditivo é único.
Dica prática para prova em prova: para mostrar unicidade de um inverso, suponha dois candidatos e some a mesma coisa para transformar um em outro; isso usa só leis já provadas.
Passo 8
Construção do inverso multiplicativo (existência) e prova de unicidade.
-
Existência (construção explícita): seja
com . Isso significa que (pois implicaria e então ). Proponho Verifico que: Aqui usei queporque , ou mais claramente a classe é a mesma de . Assim todo tem inverso multiplicativo. Observação: devo também checar que a definição do inverso multiplicativo é independente do representante escolhido, ou seja, seentão (quando e ). Isso é verdade porque implica (multiplicando ambos os lados da igualdade por não é necessário; basta reorganizar), e a verificação é análoga ao caso do bem-definido já tratado. Portanto a construção é legítima. -
Unicidade: suponha
e são dois inversos multiplicativos de , isto é Quero mostrar. Uso propriedades já provadas (associatividade, existência do neutro multiplicativo e comutatividade): Assim o inverso multiplicativo é único.
Importante: a multiplicação inversa só existe para
, pois para
não há
com
.
Resposta
As leis da álgebra — comutatividade, associatividade, distributividade e existência das identidades
e
— valem para
quando as operações são definidas por
e
.
(a) Para todo existe único
tal que
; explicitamente, se
então
e esse
é único.
(b) Para todo com
existe único
tal que
; explicitamente, se
com
então
e esse
é único.
(a) Para todo
(b) Para todo