Questāo 3 ( 12 pts): Determine se os limites abaixo existem. Em caso afirmativo, calcule-os.
c) \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1+2 x-x^{2}}{1-x+2 x^{2}}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Pede-se determinar se existe o limite quando x tende a infinito e, em caso afirmativo, calculá-lo.
  • A expressão dada é \displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1+2x-x^{2}}{1-x+2x^{2}}.
  • Informações úteis que o enunciado dá (visíveis na própria expressão):
    • O numerador é o polinômio 1+2x-x^{2} (grau 2, coeficiente líder -1).
    • O denominador é o polinômio 1-x+2x^{2} (grau 2, coeficiente líder 2).

Passo 2

Ideia básica sobre o comportamento de termos quando x \to \infty (coisa simples e poderosa):
  • Para qualquer número real fixo a, tem-se \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{a}{x}=0 e \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{a}{x^{2}}=0. Intuição: conforme x cresce muito, o recíproco fica muito pequeno.
  • Assim, termos como \dfrac{1}{x} e \dfrac{1}{x^{2}} tendem a 0 quando x\to\infty.
  • Esse fato permite que, ao estudar uma fração de polinômios para x\to\infty, tratemos separadamente os termos de ordens menores que a ordem dominante.

Passo 3

Técnica prática (passo a passo algébrico): dividir cada termo pelo maior grau presente, que é x^{2}.
Primeiro escrevemos a razão dividindo numerador e denominador por x^{2}:
\frac{1+2x-x^{2}}{1-x+2x^{2}} = \frac{\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{2}{x}-1}{\dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{1}{x}+2}.
Aqui fizemos a operação termo a termo: por exemplo \dfrac{2x}{x^{2}}=\dfrac{2}{x} e \dfrac{-x^{2}}{x^{2}}=-1.

Passo 4

Aplicar limites termo a termo, justificando por propriedades básicas de limites:
  • Pelo que vimos no Passo 2, \lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x^{2}}=0,\qquad \lim_{x\to\infty}\dfrac{2}{x}=0,\qquad \lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x}=0.
  • Então, tomando limite na expressão do Passo 3 e usando que o limite da soma/quociente (quando o limite do denominador não é zero) é a soma/quociente dos limites, \lim_{x\to\infty}\frac{\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{2}{x}-1}{\dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{1}{x}+2} =\frac{0+0-1}{0-0+2}=\frac{-1}{2}.
  • Aqui checamos que o limite do denominador é 2\neq 0, logo a divisão é válida.

Passo 5

Interpretação mais curta (regra prática útil para provas):
  • Quando o numerador e o denominador são polinômios do mesmo grau (aqui ambos de grau 2), o limite quando x\to\infty é simplesmente a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
  • No caso, coeficiente líder do numerador é -1 e do denominador é 2, então o limite é -1/2.
  • Exemplo extra rápido para fixar: \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{3x^{3}+5x}{6x^{3}-x}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.

Passo 6

Conclusão final e incentivo: o limite existe e vale -\tfrac{1}{2}. Você já consegue aplicar o mesmo procedimento em frações de polinômios — divide pelo maior grau, faz os limites das frações pequenas irem a zero, e pega a razão dos termos dominantes quando os graus coincidirem. Vai dar certo na prova!

Resposta

-\dfrac{1}{2}

Exercícios relacionados