Questāo 3 ( 12 pts): Determine se os limites abaixo existem. Em caso afirmativo, calcule-os.
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Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado:
- Pede-se determinar se existe o limite quando
tende a infinito e, em caso afirmativo, calculá-lo. - A expressão dada é
. - Informações úteis que o enunciado dá (visíveis na própria expressão):
- O numerador é o polinômio
(grau , coeficiente líder ). - O denominador é o polinômio
(grau , coeficiente líder ).
- O numerador é o polinômio
Passo 2
Ideia básica sobre o comportamento de termos quando
(coisa simples e poderosa):
- Para qualquer número real fixo
, tem-se e . Intuição: conforme cresce muito, o recíproco fica muito pequeno. - Assim, termos como
e tendem a quando . - Esse fato permite que, ao estudar uma fração de polinômios para
, tratemos separadamente os termos de ordens menores que a ordem dominante.
Passo 3
Técnica prática (passo a passo algébrico): dividir cada termo pelo maior grau presente, que é
.
Primeiro escrevemos a razão dividindo numerador e denominador por
:
Aqui fizemos a operação termo a termo: por exemplo
e
.
Passo 4
Aplicar limites termo a termo, justificando por propriedades básicas de limites:
- Pelo que vimos no Passo 2,
- Então, tomando limite na expressão do Passo 3 e usando que o limite da soma/quociente (quando o limite do denominador não é zero) é a soma/quociente dos limites,
- Aqui checamos que o limite do denominador é
, logo a divisão é válida.
Passo 5
Interpretação mais curta (regra prática útil para provas):
- Quando o numerador e o denominador são polinômios do mesmo grau (aqui ambos de grau
), o limite quando é simplesmente a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. - No caso, coeficiente líder do numerador é
e do denominador é , então o limite é . - Exemplo extra rápido para fixar:
.
Passo 6
Conclusão final e incentivo: o limite existe e vale
. Você já consegue aplicar o mesmo procedimento em frações de polinômios — divide pelo maior grau, faz os limites das frações pequenas irem a zero, e pega a razão dos termos dominantes quando os graus coincidirem. Vai dar certo na prova!