Questão 12.
Resolva o problema de valor inicial
em que
representa a "função"Delta-Dirac.
Passo 1
O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
onde
é o impulso de Dirac em
. O conteúdo aqui é EDO linear com força impulsiva. Vamos dividir em duas regiões:
(antes do impulso) e
(depois do impulso), usando continuidade de
e o salto de
imposto pelo impulso.
Passo 2
Para
a equação é homogênea
com
e
. Como o sistema é linear e as condições iniciais são nulas, a única solução nessa região é
Passo 3
No instante
ocorre o impulso. Integramos a equação de
a
:
Como
e
tendem a zero, sobra
Antes do impulso
, logo
Também
pela continuidade de
.
Passo 4
Para
resolvemos a homogênea
com condições iniciais em
:
A equação característica é
Assim, definindo
, a solução geral é
Em
temos
. Derivando e impondo
dá
portanto
. Logo para
,
Passo 5
Unindo as duas regiões com a função de Heaviside
, a solução final é