Questão 12.

Resolva o problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{r} 2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}+2 y=\delta(t-5) \\\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=0 \end{array}\right.
em que \delta(t-5) representa a "função"Delta-Dirac.

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
\begin{cases} 2\,y''(t)+y'(t)+2\,y(t)=\delta(t-5),\\\ y(0)=0,\;y'(0)=0, \end{cases}
onde \delta(t-5) é o impulso de Dirac em t=5. O conteúdo aqui é EDO linear com força impulsiva. Vamos dividir em duas regiões: 0<t<5 (antes do impulso) e t>5 (depois do impulso), usando continuidade de y e o salto de y' imposto pelo impulso.

Passo 2

Para 0<t<5 a equação é homogênea
2\,y''+y'+2\,y=0
com y(0)=0 e y'(0)=0. Como o sistema é linear e as condições iniciais são nulas, a única solução nessa região é
y(t)=0,\quad 0<t<5.

Passo 3

No instante t=5 ocorre o impulso. Integramos a equação de t=5^- a t=5^+:
\int_{5^-}^{5^+}\bigl(2\,y''+y'+2\,y\bigr)\,dt=\int_{5^-}^{5^+}\delta(t-5)\,dt=1.
Como \int_{5^-}^{5^+}y'\,dt e \int_{5^-}^{5^+}y\,dt tendem a zero, sobra
2\bigl[y'(5^+)-y'(5^-)\bigr]=1.
Antes do impulso y'(5^-)=0, logo
y'(5^+)=\frac{1}{2}.
Também y(5^+)=y(5^-)=0 pela continuidade de y.

Passo 4

Para t>5 resolvemos a homogênea
2\,y''+y'+2\,y=0
com condições iniciais em t=5:
y(5)=0,\quad y'(5)=\tfrac12.
A equação característica é
2r^2+r+2=0\quad\Longrightarrow\quad r=-\tfrac14\pm i\,\frac{\sqrt{15}}{4}.
Assim, definindo \tau=t-5, a solução geral é
y(t)=e^{-\tau/4}\bigl(A\cos(\tfrac{\sqrt{15}}{4}\,\tau)+B\sin(\tfrac{\sqrt{15}}{4}\,\tau)\bigr).
Em \tau=0 temos y(5)=0\implies A=0. Derivando e impondo y'(5)=\tfrac12
y'(5)=\beta B\quad\text{com}\quad \beta=\frac{\sqrt{15}}{4},
portanto B=(\tfrac12)/\beta=2/\sqrt{15}. Logo para t>5,
y(t)=\frac{2}{\sqrt{15}}\,e^{-\frac{t-5}{4}}\sin\!\Bigl(\frac{\sqrt{15}}{4}(t-5)\Bigr).

Passo 5

Unindo as duas regiões com a função de Heaviside u(t-5), a solução final é
y(t)=u(t-5)\,\frac{2}{\sqrt{15}}\,e^{-\tfrac{t-5}{4}}\sin\!\Bigl(\tfrac{\sqrt{15}}{4}(t-5)\Bigr).

Resposta

\boxed{y(t)=u(t-5)\,\frac{2}{\sqrt{15}}\,e^{-\tfrac{t-5}{4}}\sin\!\Bigl(\tfrac{\sqrt{15}}{4}(t-5)\Bigr).}

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